234 高等数学重点难点100讲 因为 1 de lim dx li lim le 根据广义积分收敛性定义, o(x-1) dx发散 例7计算积分 since<ldx,指出错误分析错因作出解答 + 错解】因为被积函数是奇函数积分区间是对称区间,故有 sinze=0. 解本题积分区间是无穷区间,属于广义积分,不能利用奇函数的上述积分性质 "o sinredr= sinze"dx sinre'dr=I,+I 由广义积分敛散性定义知: I2=lim sinr.e dx=lim e"(sinz-cosx)= lim Ce(sinb-cosb)+11 取bn=2nx→+∞,对应l2=im[e2·(-1)+1]=-∞; 取b.=2mr+2→+∞对应l2=lm3[em1+1]=+ 故广义积分I2发散,从而 since ldr发散 例8指出下面的错误,并写出正确作法 求f(x)dx,f(x)/1-x, 0≤x≤1; 2 1<x≤3 f(x)在[0,3]上的原函数为 F(x) 0≤x≤1 x2-2x,1<x≤3. 所以|f(x)dx=F(3)-F(0)=3 解F(x)在x=1处不连续,从而F(x)在x=1处不可导,故F(x)不是f(x)在0 3]上的原函数,所以所求结果是错误的.如何求f(x)在[0,3]上的一个原函数呢 当0≤x<1时,f(x)dx=(1-x)dx=x2+C1; 当1<x≤3时,f(x)dx=(2x-2)dx=x2-2x+C2 因为f(x)在[0,3]上连续,故其原函数在[0,3]上存在,在x=1处可导必连续,所以 同=z-2+c)=1m(x2-2+c)即C=是2+C从而 +CI 0≤x≤1; 2x++C1,1<x≤3. 取C1=0,则得f(x)在[0,3]上的一个原函数G(x)= 2x+,1<x≤3 9 于是f(x)dx=G(3)-G(0)=2