第65讲定积分计算常见错误分析 235 这个作法虽然正确,但不简便,应分段积分: (r)dx=l(1-x)dx +(2x-2)dx 例9判别 小2x=1d的做散性下面的两种作法哪个正确?为什么? 解法1∴x→1时,x1→,n|xz=1→-∞, ∴x1’x-1∞,即x=1为无穷间断点, 原式=lim -<In(1-Ildx+ li)1+eI ∫1g2=2dz lim [rIn(1-2)dIn(1-2)+.In(z-1)dn(z-1> im{[n2(1-x)]1+[n2(x-1) n“(e In(e ∴原广义积分收敛 解法2∵x→1时nx=1→∞,即x=1为无穷间断点 原式=|mx=1z+1m.1=2d In(l m lir )dxln(1-x) e-o 2 lim [In2(1-x) ∴原广义积分发散. 解法2是正确的,解法1是错误的因为(*)式中的两个E趋于零的变化过程中是互相 独立的,所以必须分别求(*)式右端的两个极限如果将第二个极限中的写成c就可避免 解法1中的错误了 例10下面积分计算是否正确?如果有错请指出错误,并给出正确解法 求I= +x d( 解I arctan 1(x一工 )+2 解错误是明显的由十2>0(-1≤x≤1)知1+x>0.错误原因是 对被积函数变形时出现了,在积分区间[-1,1]内的x=0处无定义,不满足牛顿一莱布 尼兹公式的条件正确的解法是用x=0将[-1,1]分成[一1,0]及[0,1],利用被积函数是 偶函数的特点,得 d( 1 1 二dx=2lim -arctan )2+2