第5期 李自强，等：多信号输人下多智能体系统的图可控性分类 ·683. 2和节点4为领导者节点时，此时W=U1B= [w,…w]TeRx2,其中w:=[w20a],i∈{1,2， …,n。根据定理1得 [BLB…La-B]=U[WDW…D-1W]= 0204入102入104入02入-'04 U …： 0204入.02入n0d Aw2 在L无重特征值下，仅当存在w2=wa=0时， (L;B〉的维数小于n,〈L:B〉的维数等于w:中非零 向量的个数。而且当且仅当w:≠0时，dim((L: B〉)=n,即此时系统可控。 对于具有2个节点的图，节点1和节点2为领 导者节点时，此时W=B=[w,w,]T∈R22,其中 w:=[ww2]T,i∈{1,2}。根据定理1得 (4) [B LB]=U[W DW]= 当特征值不同时，式(4)后面的矩阵是满秩的， wAw] U = 只需考虑式(4)前面1×g矩阵，其中每个元素为n×n w:w! 的对角矩阵，则此矩阵实际上是具有n行，n×g列的 011012入1011入1012 U (5) 矩阵： 02102入21021入202 01 由于U是非奇异矩阵，所以它不影响式(5)右 边矩阵的秩，对式(5)右边矩阵进行列变换得 1011入11012012入，012 根据此矩阵的特点，取第i行，当w=0时，此 1021 入2021 1022 入2102 矩阵的维数小于n,其j∈{1,2，…，9}。所以(L:B) 的维数取决于向量w;,即L无重特征值时，〈L:B〉 ] 的维数等于W=矿B中非零列向量的个数，而且当 且仅当W矩阵中无零列向量时，dim((L;B)=n, 即此时系统可控。 当L有重特征值情况时，根据无重特征值的情 况，证明如下： [B UDU-B (UDU-)2B...(UDU-)-B]= 在入1≠入2下，上式后面的矩阵是满秩的，根据 w入，w…A-1w 前面的矩阵，只有当01=02=0或021=02=0时， (L;B〉的维数小于2，而且当且仅当w:≠0时， w入2w…A2w2 dim(〈L;B〉)=2，即此时系统可控。 令En为n×g维的矩阵，并且矩阵中的每个元 wA.w…A-w 素为1：0，为n×g维的矩阵，并且矩阵中的每个元素 设入，=入，若w,=kw,其中keR,i,je1,2,…, 为0；1。为n维列向量，且每个元素都为1；0，为q维 n且i≠j,则rank[BLB…LrB]<n,此时，系统 列向量，且每个元素都为0。下面推论由定理1的 (L,B)不可控，而且当且仅当重特征值入所对应的 证明可得。 向量组w:中，存在线性相关的向量时，系统(L,B) 推论对于系统(1)，假设L没有重特征值，则 是不可控的。证毕。 系统(L,B)是可控的，当且仅当L的任意一个特征 通过下面情况的论述都能够验证定理1中无重 向量的转置与矩阵B的乘积为非零向量，即uB= 特征值时的情况。对于具有个n个节点的图，节点 w≠0。ｗ１ｑ ⋱ ｗｎｑ é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú １ λ１ … λ ｎ－１ １ ︙ ︙ ︙ １ λｎ … λ ｎ－１ ｎ é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ù û ú ú ú ú ＝ ｗ１１ ⋱ ｗｎ１ é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú … ｗ１ｑ ⋱ ｗｎｑ é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú １ λ１ … λ１ ｎ－１ ︙ ︙ ︙ １ λｎ … λｎ ｎ－１ é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ⋱ １ λ１ … λ１ ｎ－１ ︙ ︙ ︙ １ λｎ … λｎ ｎ－１ é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú （４） 当特征值不同时，式（４）后面的矩阵是满秩的， 只需考虑式（４）前面 １×ｑ 矩阵，其中每个元素为 ｎ×ｎ 的对角矩阵，则此矩阵实际上是具有 ｎ 行，ｎ×ｑ 列的 矩阵： ｗ１１ ⋱ ｗｎ１ … ｗ１ｑ ⋱ ｗｎｑ é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú 根据此矩阵的特点，取第 ｉ 行，当 ｗｉｊ ＝ ０ 时，此 矩阵的维数小于 ｎ，其 ｊ∈｛１，２，…，ｑ｝。 所以〈Ｌ；Ｂ〉 的维数取决于向量 ｗ Ｔ ｉ ，即 Ｌ 无重特征值时，〈Ｌ；Ｂ〉 的维数等于 Ｗ＝Ｕ －１Ｂ 中非零列向量的个数，而且当 且仅当 Ｗ 矩阵中无零列向量时，ｄｉｍ（〈Ｌ；Ｂ〉） ＝ ｎ， 即此时系统可控。 当 Ｌ 有重特征值情况时，根据无重特征值的情 况，证明如下： Ｂ ＵＤＵ －１Ｂ ＵＤＵ －１ ( ) ２Ｂ … ＵＤＵ －１ ( ) ｎ－１ [ Ｂ] ＝ Ｕ ｗ Ｔ １ λ１ｗ Ｔ １ … λ ｎ－１ １ ｗ Ｔ １ ｗ Ｔ ２ λ２ｗ Ｔ ２ … λ ｎ－１ ２ ｗ Ｔ ２ ︙ ︙ ︙ ｗ Ｔ ｎ λｎｗ Ｔ ｎ … λ ｎ－１ ｎ ｗ Ｔ ｎ é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú 设 λｉ ＝λｊ，若 ｗｉ ＝ ｋｗｊ，其中 ｋ∈Ｒ，ｉ，ｊ∈１，２，…， ｎ 且 ｉ≠ｊ， 则 ｒａｎｋ Ｂ ＬＢ … Ｌ ｎ－１ [ Ｂ] ＜ ｎ， 此时， 系统 （Ｌ，Ｂ）不可控，而且当且仅当重特征值 λｉ 所对应的 向量组 ｗｉ 中，存在线性相关的向量时，系统（Ｌ，Ｂ） 是不可控的。 证毕。 通过下面情况的论述都能够验证定理 １ 中无重 特征值时的情况。 对于具有个 ｎ 个节点的图，节点 ２ 和节点 ４ 为领导者节点时，此时 Ｗ ＝ Ｕ － １Ｂ ＝ ｗ１… ｗｎ [ ] Ｔ∈Ｒ ｎ×２ ，其中 ｗｉ ＝ ｗｉ２ ｗｉ４ [ ] Ｔ ，ｉ∈｛ １，２， …，ｎ｝。 根据定理 １ 得 Ｂ ＬＢ … Ｌ ｎ－１ [ Ｂ] ＝ Ｕ Ｗ ＤＷ … Ｄ ｎ－１ [ Ｗ] ＝ Ｕ ｗ１２ ｗ１４ ︙ ︙ ｗｎ２ ｗｎ４ λ１ｗ１２ λ１ｗ１４ ︙ ︙ λｎｗｎ２ λｎｗｎ４ … λ ｎ－１ １ ｗ１２ λ ｎ－１ １ ｗ１４ ︙ ︙ λ ｎ－１ ｎ ｗｎ２ λ ｎ－１ ｎ ｗｎ４ é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú 在 Ｌ 无重特征值下，仅当存在 ｗｉ２ ＝ ｗｉ４ ＝ ０ 时， 〈Ｌ；Ｂ〉的维数小于 ｎ，〈Ｌ；Ｂ〉的维数等于 ｗｉ 中非零 向量的个数。 而且当且仅当 ｗｉ ≠０ 时， ｄｉｍ （〈 Ｌ； Ｂ〉）＝ ｎ，即此时系统可控。 对于具有 ２ 个节点的图，节点 １ 和节点 ２ 为领 导者节点时，此时 Ｗ ＝ Ｕ －１Ｂ ＝ ｗ１ ｗ２ [ ] Ｔ∈Ｒ ２×２ ，其中 ｗｉ ＝ ｗｉ１ｗｉ２ [ ] Τ ，ｉ∈｛１，２｝。 根据定理 １ 得 [Ｂ ＬＢ] ＝ Ｕ [Ｗ ＤＷ] ＝ Ｕ ｗ Ｔ １ λ１ｗ Ｔ １ ｗ Ｔ ２ λ２ｗ Ｔ ２ é ë ê ê ù û ú ú ＝ Ｕ ｗ１１ ｗ１２ λ１ｗ１１ λ１ｗ１２ ｗ２１ ｗ２２ λ２ｗ２１ λ２ｗ２２ é ë ê ê ù û ú ú （５） 由于 Ｕ 是非奇异矩阵，所以它不影响式（５）右 边矩阵的秩，对式（５）右边矩阵进行列变换得 ｗ１１ λ１ｗ１１ ｗ１２ λ１ｗ１２ ｗ２１ λ２ｗ２１ ｗ２２ λ２ｗ２２ é ë ê ê ù û ú ú ＝ ｗ１１ ０ ０ ｗ２１ é ë ê ê ù û ú ú １ λ１ １ λ２ é ë ê ê ù û ú ú ｗ１２ ０ ０ ｗ２２ é ë ê ê ù û ú ú １ λ１ １ λ２ é ë ê ê ù û ú ú é ë ê ê ù û ú ú ＝ ｗ１１ ０ ０ ｗ２１ é ë ê ê ù û ú ú ｗ１２ ０ ０ ｗ２２ é ë ê ê ù û ú ú é ë ê ê ù û ú ú １ λ１ １ λ２ é ë ê ê ù û ú ú １ λ１ １ λ２ é ë ê ê ù û ú ú é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú 在 λ１≠λ２ 下，上式后面的矩阵是满秩的，根据 前面的矩阵，只有当 ｗ１１ ＝ ｗ１２ ＝ ０ 或 ｗ２１ ＝ ｗ２２ ＝ ０ 时， 〈Ｌ；Ｂ〉 的维数小于 ２，而且当且仅当 ｗｉ ≠０ 时， ｄｉｍ（〈Ｌ；Ｂ〉）＝ ２，即此时系统可控。 令 Ｅｎ 为 ｎ×ｑ 维的矩阵，并且矩阵中的每个元 素为 １；０ｎ 为 ｎ×ｑ 维的矩阵，并且矩阵中的每个元素 为 ０；１ｎ 为 ｎ 维列向量，且每个元素都为 １；０ｑ 为 ｑ 维 列向量，且每个元素都为 ０。 下面推论由定理 １ 的 证明可得。 推论 对于系统（１），假设 Ｌ 没有重特征值，则 系统（Ｌ，Ｂ）是可控的，当且仅当 Ｌ 的任意一个特征 向量的转置与矩阵 Ｂ 的乘积为非零向量，即ｕ Ｔ ｉ Ｂ＝ ｗ Ｔ ｉ ≠０ Ｔ ｑ 。 第 ５ 期 李自强，等：多信号输入下多智能体系统的图可控性分类 ·６８３·