.684. 智能系统学报 第11卷 注释单信号输入系统下，对应的拉普拉斯矩 从(6)中可以看出对所有的i=2,…,n,有w= 阵如果存在重特征值，则系统不可控：但是在多信号 -w,另外 输入系统下，并不能单纯依靠存在重特征值来判断 w=uB==(Ib,‖Ib2I…lbnl) 系统的不可控性。 √n 推论2对于系统(1)，无论L有无重特征值 =B=m-Ib,n-Ib,…n-1b.） 时，若B=0n,即W=UB=[w1…wn]T=0n,则系统 √n (L,B)不可控。 因为B生{En,0n},所以w1≠0，w:≠0，。这样 证明同理定理1证明为 可以证明在B生{En,O。}下W和W有相同数目的 [B UDU-B (UDU-)B...(UDU-)B]= 非零向量。而且因为对于所有的i=2,3,…,n,有 w=-w,无论L有无重特征值，〈L;B〉的维数都等 U[wDW…D"-1W]=U[0.D0。…D"-0n] 则rank[BLB…L-B]<n,即系统(L,B)不可控。 于(L;B〉，即dim((L;B〉)=dim(L:B〉)。而且它 们的维数相同时，可控性也相同。 令b,‖=∑，b,表示列向量b,中非零元素 通过上文的阐述，可以给出多信号输入下图可 之和。令B=E-B表示B的补集。 控性分类的定义。 定理2让n≥2，对于系统(1)，系统(L,B)是 定义2在连通图G中，对于系统(1) 1)如果除去图中每个点都是输人节点以及每 可控的，当且仅当系统(L,B)是可控的。而且B 个点都不是输入节点的2种情况后，任意选取图中 {En,0n}时，dim(〈L:B〉)=dim((L;B〉)成立。 的点为输入节点时，系统(L,B)是可控的，则图关于 证明U为L标准正交基组成的矩阵，其中U B是多信号输入下本质可控图： 2)如果在图中选取任意点为输入节点时，系统 的第一列特征向量为41=1。B生E。,0,,B中 (L,B)都是不可控的，则图关于B是多信号输入下 √n 完全不可控图： 元素为正实数。令W=UB=[w,…w]T,并且 3)如果图关于B即不是多信号输入下本质可 W=B=[w,…wn]T,其中W和WeR。*表 控图也不是多信号输入下完全不可控图，则图关于 示任意实数，但它们满足的第2行到第n行向量 B是多信号输人下条件可控图。 都与1.正交。那么， 下面是分情况讨论3种情况下的图性质。 W=UE。-U'B= 2.1多信号输入下本质可控图 在本节中，主要给出2个多输入下本质可控图 1 的必要条件，通过下面的命题论证。 n n 命题1多输入下本质可控图是不对称的。 W 证明设G是多输入下本质可控图，则L必须 1 有不同的特征值。在这用反证法，假设多输入下本质 可控图是对称的，则G有一个非平凡自同构群，设 n n J是置换矩阵代表G的一个非恒等自同构，那么存在 √n 2个不同的标准正交基e:和e,使得Je:=e,和Je,= 0 0 0 -W e。则有J[e:0n…]=[e0。…]和J[0ne…]=[0ne …]。并且有JL(G)=L(G)J,令B=[e:0.…]+[0。 0 0 0 e…]。可以得到JB=B。设入为矩阵L的特征值， 即 其对应的特征向量为v,满足Lv=入y。两边同乘以J, 有JLv=JA,因为JL(G)=L(G)J,则有L(JP)= n n n A(J),即Jy也是对应于特征值A的特征向量。因 为L有一系列正交特征向量，-Jy也是L的特征向 W= 0 0 0 -[w1…w] (6) 量。而且JB=B=B,则有(v-JP)IB=vB- vB=vB-vB=O即B正交于L的特征向量。 0 0 0 因此系统(L,B)是不可控的。这与G是多输入下本注释 单信号输入系统下，对应的拉普拉斯矩 阵如果存在重特征值，则系统不可控；但是在多信号 输入系统下，并不能单纯依靠存在重特征值来判断 系统的不可控性。 推论 ２ 对于系统（１），无论 Ｌ 有无重特征值 时，若 Ｂ＝ ０ｎ ，即 Ｗ＝ Ｕ －１Ｂ＝ ｗ１… ｗｎ [ ] Ｔ ＝ ０ｎ ，则系统 （Ｌ，Ｂ）不可控。 证明 同理定理 １ 证明为 Ｂ ＵＤＵ －１Ｂ ＵＤＵ －１ ( ) ２Ｂ … ＵＤＵ －１ ( ) ｎ－１ [ Ｂ] ＝ Ｕ Ｗ ＤＷ … Ｄ ｎ－１ [ Ｗ] ＝ Ｕ ０ｎ Ｄ０ｎ … Ｄ ｎ－１ ０ｎ [ ] 则 ｒａｎｋ Ｂ ＬＢ … Ｌ ｎ－１ [ Ｂ] ＜ｎ，即系统（Ｌ，Ｂ）不可控。 令 ‖ｂｊ‖ ＝ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｂｉｊ 表示列向量 ｂｊ 中非零元素 之和。 令 Ｂ － ＝Ｅｎ －Ｂ 表示 Ｂ 的补集。 定理 ２ 让 ｎ≥２，对于系统（１），系统（Ｌ，Ｂ）是 可控的，当且仅当系统（Ｌ，Ｂ － ）是可控的。 而且 Ｂ∉ ｛Ｅｎ ，０ｎ ｝时，ｄｉｍ（〈Ｌ；Ｂ〉）＝ ｄｉｍ 〈Ｌ；Ｂ － ( 〉 ) 成立。 证明 Ｕ 为 Ｌ 标准正交基组成的矩阵，其中 Ｕ 的第一列特征向量为 ｕ１ ＝ １ ｎ １ｎ 。 Ｂ∉｛Ｅｎ ，０ｎ ｝，Ｂ 中 元素为正实数。 令 Ｗ ＝ Ｕ －１ Ｂ ＝ ｗ１… ｗｎ [ ] Ｔ ，并且 Ｗ － ＝Ｕ －１Ｂ － ＝ ｗ － １… ｗ － ｎ [ ] Ｔ ，其中 Ｗ 和 Ｗ － ∈Ｒ ｎ×ｑ 。 ∗表 示任意实数，但它们满足 Ｕ Ｔ 的第 ２ 行到第 ｎ 行向量 都与 １ｎ 正交。 那么， Ｗ － ＝ Ｕ ＴＥｎ － Ｕ ＴＢ ＝ １ ｎ １ ｎ … １ ｎ ∗ ∗ … ∗ ︙ ︙ ︙ ∗ ∗ … ∗ é ë ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú １ １ … １ １ １ … １ ︙ ︙ ︙ １ １ … １ é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú － Ｗ ＝ ｎ ｎ ｎ ｎ … ｎ ｎ ０ ０ … ０ ︙ ︙ ︙ ０ ０ … ０ é ë ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú － Ｗ 即 Ｗ － ＝ ｎ ｎ ｎ ｎ … ｎ ｎ ０ ０ … ０ ︙ ︙ ︙ ０ ０ … ０ é ë ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú － ［ｗ１ … ｗｎ ］ Ｔ （６） 从（６）中可以看出对所有的 ｉ ＝ ２，…，ｎ，有 ｗ － Ｔ ｉ ＝ －ｗ Ｔ ｉ ，另外 ｗ Ｔ １ ＝ ｕ Ｔ １Ｂ ＝ １ ｎ （‖ｂ１‖ ‖ｂ２‖ … ‖ｂｎ‖） ｗ － Ｔ １ ＝ ｕ Ｔ １Ｂ － ＝ １ ｎ （ｎ － ‖ｂ１‖，ｎ － ‖ｂ２‖，…，ｎ － ‖ｂｎ‖） 因为 Ｂ∉｛Ｅｎ ，Ｏｎ ｝，所以 ｗ１≠Ｏｑ，ｗ － ｉ≠Ｏｑ。 这样 可以证明在 Ｂ∉｛Ｅｎ ，Ｏｎ ｝下 Ｗ － 和 Ｗ 有相同数目的 非零向量。 而且因为对于所有的 ｉ ＝ ２，３，…，ｎ，有 ｗ － Ｔ ｉ ＝ －ｗ Ｔ ｉ ，无论 Ｌ 有无重特征值，〈Ｌ；Ｂ〉的维数都等 于〈Ｌ；Ｂ － 〉，即 ｄｉｍ（〈Ｌ；Ｂ〉）＝ ｄｉｍ 〈Ｌ；Ｂ － ( 〉 ) 。 而且它 们的维数相同时，可控性也相同。 通过上文的阐述，可以给出多信号输入下图可 控性分类的定义。 定义 ２ 在连通图 Ｇ 中，对于系统（１） １）如果除去图中每个点都是输入节点以及每 个点都不是输入节点的 ２ 种情况后，任意选取图中 的点为输入节点时，系统（Ｌ，Ｂ）是可控的，则图关于 Ｂ 是多信号输入下本质可控图； ２）如果在图中选取任意点为输入节点时，系统 （Ｌ，Ｂ）都是不可控的，则图关于 Ｂ 是多信号输入下 完全不可控图； ３）如果图关于 Ｂ 即不是多信号输入下本质可 控图也不是多信号输入下完全不可控图，则图关于 Ｂ 是多信号输入下条件可控图。 下面是分情况讨论 ３ 种情况下的图性质。 ２．１ 多信号输入下本质可控图 在本节中，主要给出 ２ 个多输入下本质可控图 的必要条件，通过下面的命题论证。 命题 １ 多输入下本质可控图是不对称的。 证明 设 Ｇ 是多输入下本质可控图，则 Ｌ 必须 有不同的特征值。 在这用反证法，假设多输入下本质 可控图是对称的，则 Ｇ 有一个非平凡自同构群，设 Ｊ 是置换矩阵代表 Ｇ 的一个非恒等自同构，那么存在 ２ 个不同的标准正交基 ｅｉ 和 ｅｊ，使得 Ｊｅｉ ＝ ｅｊ 和 Ｊｅｊ ＝ ｅｉ。 则有 Ｊ［ｅｉ ０ｎ…］ ＝［ｅｊ ０ｎ…］和 Ｊ［０ｎ ｅｊ…］ ＝ ［０ｎ ｅｉ …］。 并且有 ＪＬ（Ｇ）＝ Ｌ（Ｇ）Ｊ，令 Ｂ ＝ ［ｅｉ ０ｎ…］ ＋［０ｎ ｅｊ…］。 可以得到 ＪＢ ＝ Ｂ。 设 λ 为矩阵 Ｌ 的特征值， 其对应的特征向量为 ｖ，满足 Ｌｖ ＝λｖ。 两边同乘以 Ｊ， 有 ＪＬｖ ＝ Ｊλｖ，因为 ＪＬ（Ｇ） ＝ Ｌ（Ｇ） Ｊ，则有 Ｌ（Ｊｖ） ＝ λ（Ｊｖ），即 Ｊｖ 也是对应于特征值 λ 的特征向量。 因 为 Ｌ 有一系列正交特征向量，ｖ－Ｊｖ 也是 Ｌ 的特征向 量。 而且 ＪＢ ＝ Ｊ ＴＢ ＝ Ｂ，则有 （ｖ － Ｊｖ） Ｔ Ｂ ＝ ｖ ＴＢ － ｖ Ｔ Ｊ ＴＢ ＝ ｖ ＴＢ － ｖ ＴＢ ＝ ０ 即 Ｂ 正交于 Ｌ 的特征向量。 因此系统（Ｌ，Ｂ）是不可控的。 这与 Ｇ 是多输入下本 ·６８４· 智 能 系 统 学 报 第 １１ 卷