第5期 李自强，等：多信号输人下多智能体系统的图可控性分类 ·685 质可控图相矛盾。所以多输人下本质可控图是不对 并不与多信号输入下完全不可控图有关联。对于系 称的。结论得证。 统(1)，对称的图并不都是多输入下完全不可控图。 任何少于6个点的图都可以改为对称的图。如 如图1为对称图，当B=[e2e4]时，根据秩判据，此 图3(a)中，5个点的情况可以改为图3(b)中对称的 时系统可控。 图形。由此启发可以得到下面的命题。 给定图G,则可以写出图的拉普拉斯矩阵，也可 以求出图的特征值，特征值所对应的特征向量也可 以求出，由此启发，给出下面的命题。 命题3图G在有重特征值的情况下，对任意 1 的B使得：线性相关，那么这样的图为多信号输 入下完全不可控图。其中w=uB,u:为重特征值 所对应的特征向量，i=1,…,n。 证明根据定理1，得证。 3 命题4在图G中，如果存在一个L的特征向 (a)改变前 (b)改变后 量的转置与B的乘积为0，则这样的图为多信号输 入下完全不可控图。 图3具有5个节点的图 证明根据定理1，得证。 Fig.3 The graph with 5 vertices 命题2多输入下本质可控图至少有6个点。 2.3多信号输入下条件可控图 证明根据命题1，并且由任何不对称的图形 在本节中，主要提出文献[18]中的错误，并举 至少有6个点得证。 例进行阐述。 对于系统(1)，不对称的图并不都是多输入下 对于文献[18]中的模型(2)实际上是系统(1) 本质可控图。通过图(4)可以进行验证。 的特殊情况，即单信号输入系统，此时要在系统(2) 下进行分析与讨论文献[18]中的问题。 定义318]在图G=(V,E)中，r,seR,称b∈ R”在图G中是一个(r,s)-齐次可控向量，如果对 于每一个i∈V.,有r=|N,nV八V.|,并且对每一个 je八V,有s=|NnV。|。即每一个领导节点i与r 个跟随者相邻，并且每一个跟随者节点j与s个领导 者相邻。 对于文献[18]中推论4.2：G是一个含有n个 点的连通图，并且n≥3时，如果G有一个(r,s)-齐 次可控向量，则G是条件可控的。 图4具有6个节点的不对称图 如图5，在系统(2)下，令b=[001100],其 Fig.4 The asymmetric graph with 6 vertices 中ieV。={3,4},若i=3,则N,={1,2}且j∈V八V。= 图4是一个在给定点标记下的不对称图，它的 {1,2,5,6},得r=2,即领导节点3与2个跟随者邻 拉普拉斯矩阵为 接，若=1，则N={3},得s=1,即跟随者节点1与1 「2 -1-1 0 0 个领导者邻接。由此称b=[001100]T在图G -13-1 0 -1 0 中是一个(2,1)-齐次可控向量。则根据文献[18] -1-1 4 -1 0 -1 中推论4.2得图G是条件可控的。 L= 00-12 -1 0 图5的拉普拉斯矩阵为 0-10-13 -1 「10-10 0 0 00-10-12 1 -10 0 0 当输入矩阵B=-[e,e2]时，可以求出 -1-13 -1 0 0 L= ank[BLB…LB]<6。此时系统(L,B)是不可控的。 00 -1 3 -1 -1 2.2多信号输入下完全不可控图 0 0 0 -1 2 -1 相对于多信号输入下本质可控图，图对称与否 00 0 -1 -12」质可控图相矛盾。 所以多输入下本质可控图是不对 称的。 结论得证。 任何少于 ６ 个点的图都可以改为对称的图。 如 图 ３（ａ）中，５ 个点的情况可以改为图 ３（ｂ）中对称的 图形。 由此启发可以得到下面的命题。 （ａ）改变前 （ｂ）改变后 图 ３ 具有 ５ 个节点的图 Ｆｉｇ．３ Ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ５ ｖｅｒｔｉｃｅｓ 命题 ２ 多输入下本质可控图至少有 ６ 个点。 证明 根据命题 １，并且由任何不对称的图形 至少有 ６ 个点得证。 对于系统（１），不对称的图并不都是多输入下 本质可控图。 通过图（４）可以进行验证。 图 ４ 具有 ６ 个节点的不对称图 Ｆｉｇ．４ Ｔｈｅ ａｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ６ ｖｅｒｔｉｃｅｓ 图 ４ 是一个在给定点标记下的不对称图，它的 拉普拉斯矩阵为 Ｌ ＝ ２ － １ － １ ０ ０ ０ － １ ３ － １ ０ － １ ０ － １ － １ ４ － １ ０ － １ ０ ０ － １ ２ － １ ０ ０ － １ ０ － １ ３ － １ ０ ０ － １ ０ － １ ２ é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú 当 输 入 矩 阵 Ｂ ＝ ［ｅ１ ｅ２］ 时， 可 以 求 出 ｒａｎｋ Ｂ ＬＢ … Ｌ ５ [ Ｂ] ＜６。 此时系统（Ｌ，Ｂ）是不可控的。 ２．２ 多信号输入下完全不可控图 相对于多信号输入下本质可控图，图对称与否 并不与多信号输入下完全不可控图有关联。 对于系 统（１），对称的图并不都是多输入下完全不可控图。 如图 １ 为对称图，当 Ｂ ＝ ［ ｅ２ ｅ４ ］时，根据秩判据，此 时系统可控。 给定图 Ｇ，则可以写出图的拉普拉斯矩阵，也可 以求出图的特征值，特征值所对应的特征向量也可 以求出，由此启发，给出下面的命题。 命题 ３ 图 Ｇ 在有重特征值的情况下，对任意 的 Ｂ 使得 ｗｉ 线性相关，那么这样的图为多信号输 入下完全不可控图。 其中 ｗ Ｔ ｉ ＝ ｕ Ｔ ｉ Ｂ，ｕｉ 为重特征值 所对应的特征向量，ｉ ＝ １，…，ｎ。 证明 根据定理 １，得证。 命题 ４ 在图 Ｇ 中，如果存在一个 Ｌ 的特征向 量的转置与 Ｂ 的乘积为 ０ Ｔ ｑ ，则这样的图为多信号输 入下完全不可控图。 证明 根据定理 １，得证。 ２．３ 多信号输入下条件可控图 在本节中，主要提出文献［１８］ 中的错误，并举 例进行阐述。 对于文献［１８］中的模型（２）实际上是系统（１） 的特殊情况，即单信号输入系统，此时要在系统（２） 下进行分析与讨论文献［１８］中的问题。 定义 ３ ［１８］ 在图 Ｇ ＝ （Ｖ，Ｅ）中，ｒ，ｓ∈Ｒ，称 ｂ∈ Ｒ ｎ 在图 Ｇ 中是一个（ ｒ，ｓ） － 齐次可控向量，如果对 于每一个 ｉ∈Ｖｂ，有 ｒ ＝ Ｎｉ∩Ｖ＼Ｖｂ ，并且对每一个 ｊ∈Ｖ ＼Ｖｂ，有 ｓ ＝ Ｎｊ∩Ｖｂ 。 即每一个领导节点 ｉ 与 ｒ 个跟随者相邻，并且每一个跟随者节点 ｊ 与 ｓ 个领导 者相邻。 对于文献［１８］中推论 ４．２：Ｇ 是一个含有 ｎ 个 点的连通图，并且 ｎ≥３ 时，如果 Ｇ 有一个（ｒ，ｓ） －齐 次可控向量，则 Ｇ 是条件可控的。 如图 ５，在系统（２）下，令 ｂ ＝ ［０ ０ １ １ ０ ０］ Ｔ ，其 中 ｉ∈Ｖｂ ＝ ｛３，４｝，若 ｉ ＝ ３，则 Ｎｉ ＝ ｛１，２｝且 ｊ∈Ｖ＼Ｖｂ ＝ ｛１，２，５，６｝，得 ｒ ＝ ２，即领导节点 ３ 与 ２ 个跟随者邻 接，若 ｊ ＝ １，则 Ｎｊ ＝ ｛３｝，得 ｓ ＝ １，即跟随者节点 １ 与 １ 个领导者邻接。 由此称 ｂ ＝ ［０ ０ １ １ ０ ０］ Ｔ 在图 Ｇ 中是一个（２，１） －齐次可控向量。 则根据文献［１８］ 中推论 ４．２ 得图 Ｇ 是条件可控的。 图 ５ 的拉普拉斯矩阵为 Ｌ ＝ １ ０ － １ ０ ０ ０ ０ １ － １ ０ ０ ０ － １ － １ ３ － １ ０ ０ ０ ０ － １ ３ － １ － １ ０ ０ ０ － １ ２ － １ ０ ０ ０ － １ － １ ２ é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú 第 ５ 期 李自强，等：多信号输入下多智能体系统的图可控性分类 ·６８５·