116 冰 31卷 r)r= 0n≠m ℃.根据实测气温资料（由中铁西南科学研究院提 Nn=m 供，2004年隧道DK19十046断面的气温边界条 (47) 件为： 式中：范数N定义为： ru =-4.46+8.56m3高0-(51) (48) 式中：1为时间h) 将式(46)代入初始条件(35)得到 将以上参数代入式(15)~(18)计算，可得： p1(r)=1.977-0.764lnw (52) j=1,23.449) pn(r)=48.773-34.521·nr (53 利用下面的算子： 9,3(r)=1.558-0.764·1nw (54 (r)dr i=1.2.3.4 ,(r)=1268-0.567·1n (55 将以上参数代入式(25)-(28)计算 可得 分别对式(49)的两边进行运算，然后相加得： (r)=-0.977+0.764·1nr (56 及rTa(dr 9(r)=-47.773+34.521·1 (57 9(r)=-0.558+0.764ln (58 9(r)=-0.268+0.567·1nr (59 根据正交关系式(47)，于是系数。为： 最后可求得二次衬砌、隔热层、一次衬砌和围 岩温度的解析解公式为： c= (50 r=(1.977-0.764l-4.46+ 式(45)中的8个系数可由边界条件式(39)~ (43哈出的8个线性齐次方程来求解，这些系数可 -2·-0.977+0.764lmr)+ 由其中一个系数（不为零的数）或系数再乘以任意一 1.150e.18401Jo(0.162r)+2.761Yo(0.162r 个常数来表示.结果很复杂，这里不再罗列. 3.5≤r4.0 (60 为了求得特征值B需要一个附加关系式即 T3(r.t)=(48.773-34.521lnw)-4.46十 要使8个边界齐次方程有非零解，只有系数行列式 为零，由这个条件可得到确定特征值的超越方 86--2.3+4.2w计 程求解超越方程可得B值. 1.150e 将以上3个间题的答代入式(8)就可以得 1n119.617J6(0.186r)+ 141.230Wa(0.186r月 到二次衬砌、隔热层 一次衬砌和围岩温度的解析 4.0≤r≤4.05 (61) 万=a.558-0.764)-4.46 3计算结果与分析 -2·(-0.558+0.764r)+ 以青藏铁路线风火山隧道为例，隧道的计算内 856si7品- 径为35m,复合衬砌中二次衬砌厚Q5m,隔热 1.150e510[-1.465J(0.162r)+ 层厚005m, 次衬厚03m.钢筋混凝土的日 2.65m0(0.162r月 热为2465X10J·m3·℃-，导热系数为1355 4.05r4.35 (62) W·m1·℃，隔热层材料为聚氨酯泡沫比热 7(t)=(1.268-0.5671r-4.46+ 为0072×10J·m3·℃，导热系数为003W ·C':隧道DKs9十046断面围岩的导热 8.56sim870- 2 -2·-0.268+0.5671nr)+ m 系数1825W·m1·℃，围岩的比热为1617 i.150-.11o[-0.771Jo(0.113r)+ ×10Jm ·℃，空气与隧道的对流换热系数 2.315Yo(0.113r月 a=150W·m2.℃ 二次衬砌的初始温度T1 4.35≤r9.35 (63) =10℃，隔热层的初始温度T㎡=8℃一次衬砌 计算时间取酵道建成后的第1年.即2004年 的初始温度T巴=5围岩的初始温度T三一s代入二次衬砌，隔热层次衬砌和圃岩的温度解∑ 4 j =1∫ R j+1 R j rψjn(r)·ψjm(r)dr = 0 n ≠m Nn n =m (47) 式中 :范数 Nn 定义为 : Nn = ∑ 4 j =1∫ Rj+1 R j r ψ2 jn(r)dr (48) 将式(46)代入初始条件(35)得到: T0j = ∑ ∞ n =1 cnψjn(r) j =1 , 2 , 3 , 4 (49) 利用下面的算子 : ∫ R j+1 R j rψjm(r)dr j =1 , 2 , 3 , 4 分别对式(49)的两边进行运算 , 然后相加得 : ∑ 4 j =1∫ R j+1 R j r T0 jψjm(r)dr = ∑ ∞ n =1 cn ∑ 4 j =1∫ R j+1 R j rψjn(r)ψjm(r)dr 根据正交关系式(47), 于是系数 cn 为 : cn = 1 Nn ∑ 4 j=1∫ R j+1 R j rT 0jψjn(r)dr (50) 式(45)中的 8 个系数可由边界条件式(39)～ (43)给出的 8 个线性齐次方程来求解 , 这些系数可 由其中一个系数(不为零的数)或系数再乘以任意一 个常数来表示.结果很复杂 , 这里不再罗列. 为了求得特征值 βn 需要一个附加关系式, 即 要使 8 个边界齐次方程有非零解 , 只有系数行列式 为零 .由这个条件可得到确定特征值 βn 的超越方 程, 求解超越方程可得 βn 值 . 将以上 3 个问题的解答代入式(8), 就可以得 到二次衬砌 、 隔热层、 一次衬砌和围岩温度的解析 解. 3 计算结果与分析 以青藏铁路线风火山隧道为例 , 隧道的计算内 径为 3.5 m , 复合衬砌中二次衬砌厚 0.5 m , 隔热 层厚 0.05 m , 一次衬砌厚 0.3 m .钢筋混凝土的比 热为 2.465 ×10 6 J ·m -3 · ℃ -1 , 导热系数为 1.355 W ·m -1 · ℃-1 ;隔热层材料为聚氨酯泡沫, 比热 为0.072 ×10 6 J · m -3 · ℃-1 , 导热系数为 0.03 W ·m -1 · ℃ -1 ;隧道 DK1159 +046 断面围岩的导热 系数 1.825 W · m -1 · ℃ -1 , 围岩的比热为 1.617 ×10 6 J ·m -3 · ℃-1 ;空气与隧道的对流换热系数 α=15.0 W · m -2 · ℃-1 .二次衬砌的初始温度 T01 =10 ℃, 隔热层的初始温度 T02 =8 ℃, 一次衬砌 的初始温度 T03 =5 ℃, 围岩的初始温度 T04 =-2 ℃.根据实测气温资料(由中铁西南科学研究院提 供), 2004 年隧道 DK1159 +046 断面的气温边界条 件为: T(t)=-4 .46 +8 .56sin 2π 8760 t -π 2 (51) 式中:t 为时间(h). 将以上参数代入式(15)～ (18)计算, 可得 : 1(r)=1 .977 -0 .764 · lnr (52) 2(r)=48 .773 -34 .521 · lnr (53) 3(r)=1 .558 -0 .764 · lnr (54) 4(r)=1 .268 -0 .567 · lnr (55) 将以上参数代入式(25)～ (28)计算, 可得 : φ1(r)=-0 .977 +0 .764 ·lnr (56) φ2(r)=-47 .773 +34 .521 ·lnr (57) φ3(r)=-0 .558 +0 .764 ·lnr (58) φ4(r)=-0 .268 +0 .567 ·lnr (59) 最后可求得二次衬砌、 隔热层、 一次衬砌和围 岩温度的解析解公式为 : T1(r, t)=(1 .977 -0 .764lnr) -4 .46 + 8 .56sin 2π 8760 t -π 2 -2 ·(-0 .977 +0 .764lnr)+ 1 .150 e -5 .184×10 -5 t [ J 0(0 .162r)+2 .761Y0(0 .162r)] 3 .5 ≤r ≤4 .0 (60) T2(r, t)=(48 .773 -34 .521lnr) -4 .46 + 8 .56sin 2π 8760 t -π 2 -2 ·(-47 .773 +34 .521lnr)+ 1 .150 e -5 .184 ×10-5 t [ 19 .617 J 0(0 .186r)+ 141 .230Y 0(0 .186r)] 4.0 ≤r ≤4 .05 (61) T3(r, t)=(1 .558 -0 .764lnr) -4 .46 + 8 .56sin 2π 8760 t -π 2 -2 ·(-0 .558 +0 .764lnr)+ 1 .150 e -5 .184×10 -5 t [ -1 .465J 0(0 .162r)+ 2 .659Y 0(0 .162r)] 4 .05 ≤r ≤4 .35 (62) T4(r, t)=(1 .268 -0 .567lnr) -4 .46 + 8 .56sin 2π 8760 t -π 2 -2 ·(-0 .268 +0 .567lnr)+ 1 .150e -5 .184×10-5 t [ -0 .771J 0(0 .113r)+ 2 .315Y 0(0 .113r)] 4 .35 ≤r ≤9 .35 (63) 计算时间取隧道建成后的第 1 年 , 即 2004 年, 代入二次衬砌 、 隔热层、 一次衬砌和围岩的温度解 116 冰 川 冻 土 31 卷