第66讲定积分应用(1) 237 第66讲定积分应用(1) 定积分具有十分广阔的应用,在第66~69讲中,我们分十二小节来讨论如何理解和运 用元素法(也称微元法)来解可化为定积分的实际问题 、元素法的基本概念 1.所求量U符合下列件时能用定积分表达 (1)U是与一个变量(例如x)的变化区间[a,6]有关的量 能用定积分来解决的实际问题,总可归结为求一个确定在某区间[a,b]上且一般来说 在[a,b]上非均匀分布的量U (2)U对于区间[a,b]具有数量的可加性 设U是与变量x的变化区间[a,b]有关的待求量.在[a,b]内任意插入分点a=x。< x1<…<xn=b,把[a,b]分成n个小区间[x-1,x,](i=1,2,…,n),相应地量U也被分成 n个部分量U(i=1,2,…n),那么U等于这些部分量的和,即 U=U1+a2+…+a,=∑LU (3)能找出部分量aU(i=1,2,…,n)的近似表达式,对每个部分量4U,可以找到如下 形式的近似值: M,≈f(年;)4x;(i=1,2 7 其中f(x)为[a,b上的连续函数,4x,=x;-x-1,6,∈[x-1,x,],那么待求量U的近 似值为U=∑U≈∑f()Ax 2.求U的定积分表达式的步骤 (1)选取一个变量(例如x)并确定其变化区间[a,b]; (2)取任意一个小区间[x,x+dx]c[a,b],计算在这个小区间上的部分量MU的近似 值:dU=f(x)dx (3)以=f(x)dx作被积式在a,b门上作定积分得U=|d=|f(x)dx 这就是所求量U的定积分表达式,这个方法称为定积分的元素法(微元法),dU= f(x)dx称为U的元素(微元) 3.使用定积分元囊法的要求 使用定积分元素法的要求是: im20=()4x=0,或U=f(x)Ax+Ax(当Ax→0时,→0且与x无关) Areo 我们要求的是U的精确值,而用wU的近似值累加,其误差也将累加,所以就要求累加 的误差能随所有△x→0而趋向于零.因此,希望相应于任一长为Ax的小区间[x,x十4x] c[a,b]的部分量△都能满足表达式:aU=f(x)Ax+cAx(当4x→0时,e→0且与x 无关),这样可以证明量U可用定积分计算U-f(a)dx 例如求连续曲线y=f(x)≥0,直线x=a,x=b(a<b和x轴围成的曲边梯形面 积A(图661)时,dA=f(x)dx.这是因为△A(相应于[a,b]上任一小区间[x,x+dx]的窄 曲边梯形面积)由积分中值定理可表示为