第八部分常微分方程第11页共16页 设非齐次方程y”+y=x的一个特解为 yi=Ax+ B 代入次方程,得A=1,B=0。所以y=x 设非齐次方程y"+y=cosx的一个特解为 y2=Ex x+ Dsm x, 代入方程,得E=0.n1 所以y2= x sin x 因为y+y2为原方程的一个特解,所以原方程的通解为 y=C coSx+C x+x+xsin x 求解微分方程y-(y)2=y2hy 解:因为原微分方程不显含自变量x,所以这是一个可降阶微分方程。 令(y)=y'(x),则y(x)=a(y)y(x)=lu。原方程变为 再令p(y)=a(y),则有 p--p: yiN 这是一个一阶线性微分方程,求得 p=y2(C+hn2y)。 所以 2(C+h2y) 故 这是个变量可分离微分方程,解得 C+n2 这就是原微分方程的通解 11第八部分 常微分方程 第 11 页 共 16 页 11 设非齐次方程 y  + y = x 的一个特解为 y1 = Ax + B ， 代入次方程，得 A = 1, B = 0 。所以 y = x 1 。 设非齐次方程 y  + y = cos x 的一个特解为 y Excos x Dx sin x 2 = + ， 代入方程，得 2 1 E = 0, D = 。所以 y x sin x 2 1 2 = 。 因为 1 2 y + y 为原方程的一个特解，所以原方程的通解为 y C cos x C sin x = 1 + 2 x x sin x 2 1 + + 。 32．求解微分方程 yy (y ) y ln y 2 2  −  = 。 解：因为原微分方程不显含自变量 x ，所以这是一个可降阶微分方程。 令 u( y) = y (x) ，则 y (x) = u ( y) y (x) = u  u 。原方程变为 yuu u y ln y 2 2  − = 。 再令 ( ) ( ) 2 p y = u y ，则有 p y y y p 2 ln 2  − = ， 这是一个一阶线性微分方程，求得 ( ln ) 2 2 p = y C + y 。 所以 ( ln ) 2 2 u = y C + y ， 故 ( ln ) 2 2 y  = y C + y 。 这是个变量可分离微分方程，解得 ( ) 1 2 ln ln y + C + ln y = x + C ， 这就是原微分方程的通解