第八部分常微分方程第10页共16页 CI+Ce 所以原方程的通解为 +Ce x3-2x2+5 另解:方程y"+y'=2x2+1两端积分,得 +x+c 这是一个一阶线性微分方程,其通解为 +x+C1 =C1+Ce+x3-2x2+5x-5 C1+C2e+=x3-2x2+5x。 30.求解微分方程y-2y+y=4xe 解:因为A=1是特征方程2-2A+1=0的重根,所以原方程的一个待定特解为 =x(ax+b)e 将此解代入原方程,得 (6ax+2b)e=4 比较两端系数,得a=-,b=0。于是得到原方程的一个特解 x e 又因为相应齐次方程的通解是 y=(C1+C2x)e2。 因此原方程的通解为 y=(C1+C2x)e 31.求微分方程y”+y=x+cosx的通解。 解:原方程所对应齐次方程的通解为 C cosx+C第八部分 常微分方程 第 10 页 共 16 页 10 x y C C e − = 1 + 2 。 所以原方程的通解为 x y C C e − = 1 + 2 x 2x 5x 3 2 3 2 + − + 。 另解：方程 2 1 2 y  + y  = x + 两端积分，得 1 3 3 2 y  + y = x + x + C ， 这是一个一阶线性微分方程，其通解为 C C e x x x。 C C e x x x y e C x x C e dx x x x x 2 5 3 2 2 5 5 3 2 ) ) 3 2 ( ( 3 2 1 2 3 2 1 2 1 3 2 = + + − + = + + − + − = + + + − − −  30．求解微分方程 x y  − 2y  + y = 4xe 。 解：因为  =1 是特征方程 2 1 0 2  −  + = 的重根，所以原方程的一个待定特解为 x y x (ax b)e * 2 = + ， 将此解代入原方程，得 x x (6ax + 2b)e = 4xe 。 比较两端系数，得 , 0 3 2 a = b = 。于是得到原方程的一个特解 x y x e * 3 3 2 = 。 又因为相应齐次方程的通解是 x y (C C x)e = 1 + 2 。 因此原方程的通解为 x y (C C x)e = 1 + 2 x x e 3 3 2 + 。 31．求微分方程 y  + y = x + cos x 的通解。 解：原方程所对应齐次方程的通解为 y C cos x C sin x = 1 + 2