当A=0.,B=E(或A=E,B=0)时,(4+B)=E2=0+E=A+B,且 AB=-AB=0成立。 当A=E,B=E时,(4+B)=(2E)2=4E≠A+B,而AB=E,-AB=-E, 即AB=-BA也成立。 综上可知,A+B为幂等矩阵的充要条件为AB=-BA 答案:从A2=A推得A=0,A=E是不对的,得出这样的结果是作出了如 下推导:A2=A,A2-A=4(-E)=0,故A=0或A-E=0,即A=E 这里的错误在于:与数的乘法运算相混淆了。数a,b若满足ab=0,则必 有a=0或b=0;但对于矩阵来说,AB=0,不能推出A=0或B=0 正确解法: 因为A2=A,B2=B,于是(4+B)2=A2+B2+AB+BA=A+B+AB+BA 故(+B)2=A+B的充分必要条件是AB+BA=0,即AB=-BA 作业 习题2-2 1.2.3.4①.、④5当 A = 0,B = E （或 A = E,B = 0 ）时， (A + B) = E = 0 + E = A + B 2 2 ，且 AB = −AB = 0 成立。 当 A = E,B = E 时， (A + B) = (2E) = 4E  A + B 2 2 ，而 AB = E ，− AB = −E ， 即 AB = −BA 也成立。 综上可知， A + B 为幂等矩阵的充要条件为 AB = −BA 。 答案：从 A = A 2 推得 A = 0， A = E 是不对的，得出这样的结果是作出了如 下推导： A = A 2 ， ( ) 0 2 A − A = A A− E = ，故 A = 0 或 A− E = 0 ，即 A = E . 这里的错误在于：与数的乘法运算相混淆了。数 a,b 若满足 ab = 0 ，则必 有 a = 0 或 b = 0 ；但对于矩阵来说， AB = 0 ，不能推出 A = 0 或 B = 0. 正确解法： 因为 A = A 2 ，B = B 2 ，于是 (A + B) = A + B + AB + BA = A + B + AB + BA 2 2 2 故 (A + B) = A + B 2 的充分必要条件是 AB+ BA = 0 ，即 AB = −BA . 作业 习题 2-2 1. 2. 3. 4①.、④ 5