泛的 Lagrange中值定理 定理6.2(拉格朗日( Lagrange中值定理)设∫满足 (i)在[b上连续; (i)在(a,b)内可导 则彐∈(a,b)使 f(5)=f(b)-f(a) [分析](图见上册教材121页图6-3)割线AB的方程为 y=/(a)+f(b)-f(a) (x-a) 问题是证明5e(ab),使f(5)与割线在处导数yx:相等 即证 If(x-f(a) ∫(b)-f(a) (x-a)]=0 证作辅助函数F(x)=f(x)-f(a) ∫(b)-f(a (x-a),x∈[a,b 注(i) Lagrange中值定理的几何意义是:在满足定理条件的曲 线上至少存在一点使得曲线在该点处的切线平行于曲线两端点连线 (i)(2)式称为 Lagrange(中值)公式,它还有以下几种等价形 式 f(b)-f(a)=f'((b-a,a<5<b f(b)-f(a)=f(a+b(b-a)b-a.0<6< f(a+h)-f(a)=f(a+bh)h0<6<1 另外,无论a>b,还是a<b, Lagrange(中值)公式都成立.此公式 将由自变量的变化而引起的因变量的增量与导数联系起来,而且比上 章中有限增量公式前进了一大步,这也是 Lagrange中值定理应用 更为广泛的原因之泛的 Lagrange 中值定理. 定理 6.2(拉格朗日(Lagrange 中值定理)设 f 满足 (ⅰ)在 a,b 上连续; (ⅱ)在 (a, b) 内可导 则  (a,b) 使 b a f b f a f − −  = ( ) ( ) ( ) (2) [分析]（图见上册教材 121 页图 6-3） 割线 AB 的方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a y f a − − − = + 问题是证明  (a,b) ,使 f ( ) 与割线在  处导数 =  x y 相等 即证 ( )] 0 ( ) ( ) [ ( ) ( ) −  = − − − − a  x b a f b f a f x f a 证 作辅助函数 ( ), [ , ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a x a b b a f b f a F x f x f a −  − − = − − 注 (ⅰ)Lagrange 中值定理的几何意义是:在满足定理条件的曲 线上至少存在一点使得曲线在该点处的切线平行于曲线两端点连线. (ⅱ)(2)式称为 Lagrange(中值)公式,它还有以下几种等价形 式 ( ) ( ) ( ) ,0 1 (5) ( ) ( ) ( ( ))( ),0 1 (4) ( ) ( ) ( )( ), (3) + − =  +   − =  + − −   − =  −         f a h f a f a h h f b f a f a b a b a f b f a f b a a b 另外,无论 a  b ,还是 a  b , Lagrange(中值)公式都成立.此公式 将由自变量的变化而引起的因变量的增量与导数联系起来,而且比上 一章中有限增量公式前进了一大步,这也是 Lagrange 中值定理应用 更为广泛的原因之一