时，电场力对它所作的功近似于但dr,即功元素为：dW=gdr于是所求的功为 w=gdr=-上=a为 a b 注意：在计算静电场中某点的电位时，需考虑将单位正电荷从该点处r=α移到无穷远 处时电力场所作的功W。此时，电力场对单位正电荷所作的功就是反常积分： w=“gdr=-r=但 2。例2在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体 的膨胀，把容器中的活塞从a处推移到点b处（图见P283).计算在移动过程中，气体压力 所作的功. 解：取坐标系（见图），己知一定量的气体在等温条件下，压强p与体积V的乘积是常 数k,即p=k,由于V=S,所以p= :·于是作用在活塞上的力为： k F=pS= 取x为积分变量，任取小区间[x,x+dx)ca,b,当单位正电荷从x移动到x+dx时 变力F所作的功近似于《dx,即功元素为：dW=冬dx.于是所求的功为： W-广kdx=nx北=kn2 3.例3一圆柱形的蓄水桶高为5m,底圆半径为3m,桶内盛满了水.试问要把桶内 的水全部吸出需作多少功. 解：取坐标系（见图），取x为积分变量，任取小区间[x,x+d]仁0，习，这薄层水的 重力为：9.8π32dxkN.把这薄层水吸出桶外需作功的微元为：dW=88.2πxdx,于是 所求的功为：W=882πxdx=8825龙 =82x空3462W0. 二、水压力 1.引言：在水深为h处的压强为p=Pgh,这里P是水的比重.如果有一面积为A的 平板水平地放置在水深h处，那未，平板一侧所受的水压力为：P=pA=PghA 若平板铅直地放置在水中，那么由于水深不同之处的压强不相等.此时，平板一侧所 受的水压力就必须使用定积分来计算. 2.例题讲解 例4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水（图见P285).设桶的底半径为R, 1111 时，电场力对它所作的功近似于 2 d kq r r ，即功元素为： 2 d d kq W r r = ．于是所求的功为： 2 1 1 1 d [ ] ( ) b b a a kq W r kq kq r r a b = = − = −  ． 注意：在计算静电场中某点的电位时，需考虑将单位正电荷从该点处 r a = 移到无穷远 处时电力场所作的功 W ．此时，电力场对单位正电荷所作的功就是反常积分： 2 1 d [ ] a a kq kq W r kq r r a + + = = − =  ． 2．例 2 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体．在等温条件下，由于气体 的膨胀，把容器中的活塞从 a 处推移到点 b 处（图见 P283）．计算在移动过程中，气体压力 所作的功． 解：取坐标系（见图），已知一定量的气体在等温条件下，压强 p 与体积 V 的乘积是常 数 k ，即： pV k = ，由于 V xS = ，所以 k p xS = ．于是作用在活塞上的力为： k k F pS S xS x = =  = ． 取 x 为积分变量，任取小区间 [ , d ] [ , ] x x x a b +  ．当单位正电荷从 x 移动到 x x +d 时， 变力 F 所作的功近似于 d k x x ，即功元素为： d d k W x x = ．于是所求的功为： d [ln ] ln b b a a k b W x k x k x a = = =  ． 3．例 3 一圆柱形的蓄水桶高为 5m ，底圆半径为 3m ，桶内盛满了水．试问要把桶内 的水全部吸出需作多少功． 解：取坐标系（见图），取 x 为积分变量，任取小区间 [ , d ] [0,5] x x x +  ，这薄层水的 重力为： 2 9.8 3 d   xkN ．把这薄层水吸出桶外需作功的微元为： d 88.2 d W x x =  ，于是 所求的功为： 2 5 5 0 0 88.2 d 88.2 [ ] 2 x W x x = =    25 88.2 3462( ) 2 =    kJ ． 二、水压力 1．引言：在水深为 h 处的压强为 p gh =  ，这里  是水的比重．如果有一面积为 A 的 平板水平地放置在水深 h 处，那未，平板一侧所受的水压力为： P pA ghA = =  若平板铅直地放置在水中，那么由于水深不同之处的压强不相等．此时，平板一侧所 受的水压力就必须使用定积分来计算． 2．例题讲解 例 4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水（图见 P285）．设桶的底半径为 R