高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 第四节对面积的曲面积分 教学内容：对面积的曲面积分的概念与性质： 对面积的曲面积分的计算方法。 教学目标：了解对面积的曲面积分的概念和性质， 掌握对面积的曲面积分的计算方法 教学重点：对面积的曲面积分的计算方法 教学难点：对面积的曲面积分的计算法 教学方法：讲授 作业：课后习题 教学过程： 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例：设Σ为面密度非均匀的物质曲面，其面密度为ρ(x,gz),求其质量？ 类似求平面薄板质量的思想，采用“大化小，常代变，近似和，求极限”的方法，可得 M=im2p(5,,S)4S,a为各小块曲面直径的最大值 01 定义设曲面Σ是光滑的，函数f(xgz)在Σ上有界.把Σ任意分成n小块：△S,△S, ··,△S(△S也代表曲面的面积)，在△S上任取一点(5，，5：)，如果当各小块曲面的直径 的最大值元0时，极限im2∫传，，5)△S,总存在，则称此极限为函数fx,习在曲面Σ 20=1 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作川fx,y,z)5,即 Σ 广/八S=m之fGAS,其中K大叫微被积函数.三叫做积分曲面 1→0e1 据此定义，曲面形构件的质量为 M=j儿p(x,y,z)ds 曲面面积为S= as 对面积的曲面积分的存在性： 我们指出当(xgz)在光滑曲面Σ上连续时对面积的曲面积分是存在的.今后总假定 f(x,乃z)在Σ上连续. 根据上述定义面密度为连续函数p(x,y,z)的光滑曲面Σ的质量M可表示为p(x,yz)在Σ 上对面积的曲面积分： M=f(.y.)ds 如果Σ是分片光滑的我们规定函数在Σ上对面积的曲面积分等于函数在光滑的，各片曲面