高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 上对面积的曲面积分之和.例如设Σ可分成两片光滑曲面Σ及Σ2（记作Σ=Σ1+Σ）就规定 [f(x.y.2)ds=[f(x.y.2)ds+ f(x,y,z)ds Z1+2 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似， 对面积的曲面积分的性质： (1)设c1、c2为常数，则 Jjc.y.)+cg(.y.)HS-cJ[f(x.y,2ds+c2JJg@y.dS: (2)若曲面Σ可分成两片光滑曲面Σ及Σ，则 a-Jxxa+jes: (3)设在曲面Σ上(x52)≤g(xyz),则 f(cy,2s≤.y2as; (④小dS=A,其中A为曲面Σ的面积。 二、对面积的曲面积分的计算 面密度为(x5z)的物质曲面的质量为 M=1im2f5n.5△S,=∬fx,2s 另一方面，如果Σ由方程=z(x)给出，Σ在xOy面上的投影区域为D,那么曲面的 面积元素为dA=1+z(xy)+z(x,y), 质量元素为f几x,八，z(x,ydA=f几x,yz(x,y儿W1+(x,y)+z(c,y)d. 根据元素法，曲面的质量为 M=小/几x,y,2(,ylV1+2x,)+zx)d少 因此川fx,y,z)d5=川fxy2(x,儿V1+zx)+zx)dkd. 化曲面积分为二重积分：设曲面Σ由方程2=z(x)给出，Σ在xOy面上的投影区域为 D,函数2=z(x月在D,上具有连续偏导数，被积函数f(x5z)在Σ上连续，则 [(.y.dS-[[/x.y.z..dxdy. D 如果积分曲面∑的方程为=y(名，)，D为Σ在zOx面上的投影区域，则函数f(x5) 在Σ上对面积的曲面积分为