22(x-m0)2+h (x-=m)-m=m2 2 若令Q(a)=,T(x)=(x-m)2,D(a_=-ho,S(x)=-h√2z,则有 (22) f,(x)=expo()T(x)+D(o)+S(x)) 这就证明了正态分布M(m0,a2)是单参数o(G>0)的指数族 (2)Jn(x)= (x-m)2 丌 IX 若令Q(m)=-2,7(x)=x,D(m) ,S(x)≡ +h1 O f (x)=expo(m)T(x)+D(m)+S(x)) 所以正态分布N(m,O02)是单参数m(-∞<m<∞)的指数族。 (3)p(k;)=∥ep{kh2-2-hkl}。 若令Q(4)=h,7(k)=k,D(4)=-,S(k)=-hk!,则 p(k,A)=exp{Q(4)T(k)+D()+S(k)},所以p(k;1)是单参数A(2>0)的指数族 (4)关于[0,0]上的均匀分布,其密度函数为f(x)= j1/,0sx≤e b或x>0 f(x)是定义在-∞<x<∞的函数,由于它是x的分段表示的函数,所以无法写成形 式f(x)=ex{Q(6)r(x)+D(O)+(x)}故f(x)关于O不是一个单参数的指数 族 12、证:分别对固定的x0和y0有 y>-x0 F(x, yo) 0.x 由上式显然可得F(x,y)对每个变元非降,左连续,而且满足(2.6)及(2.7),即 F(-∞,y)=0,F(x-∞)=0,F(+∞,+∞)=1但有 F(1)-F(1,0)-F(0,1)+F(0.0)=-1 这说明当取a1=a2=0,b=b2=1时(2.5)式不成立。所以F(x,y)不是分布函数。 13、证:必要性:      = − − +  2  1 ( ) ln 2 1 exp 2 2 m0 x       − − − = −    2 2 2 2 ln ln ( x m) exp 若令  , ( ) ( ) , ( _ ln  (2 ) 1 ( ) 2 2 = − 0 = − − Q = T x x m D ， S(x) = −ln 2 ，则有 f (x) = exp{Q( )T(x) + D( ) + S(x)}  这就证明了正态分布 ( , ) 2 M m0  是单参数  (  0) 的指数族。 （2）         − = − 2 0 2 0 2 ( ) exp 2 1 ( )    x m f x m       − + = − 2 2 2 0 2 2 exp 2 1    x mx m         = − − + 0 2 0 2 2 0 2 2 0 2 1 ln 2 2 exp     mx m x 若令 0 2 0 2 2 0 2 2 0 2 1 ln 2 , ( ) 2 1 ( ) , ( ) , ( )      = + − = = = x S x m T x x D m m Q m ，则 f (x) exp{Q(m)T(x) D(m) S(x)} m = + + 所以正态分布 ( , ) 2 N m  0 是单参数 m(−  m  ) 的指数族。 （3） exp{ ln ln !} ! ( ; ) e k k k p k k = = − − −      。 若令 Q() = ln , T(k) = k, D() = −, S(k) = −ln k! ，则 p(k;) = exp{Q()T(k) + D() + S(k)} ，所以 p(k;) 是单参数 (  0) 的指数族。 （4）关于 [0, ] 上的均匀分布，其密度函数为        = 0, 0 1/ , 0 ( ) x x x f x  或    f (x)  是定义在 −  x   的函数，由于它是 x 的分段表示的函数，所以无法写成形 式 f (x) = exp{Q()T(x) + D() + S(x)}  ， 故 f (x)  关于  不是一个单参数的指数 族。 12、证：分别对固定的 0 x 和 0 y 有     −  − =     −  − = 0 0 0 0 0 0 0, 1, , ( , ) 0, 1, ( , ) x y x x F x y y x y x F x y 。 由上式显然 可得 F(x, y) 对每个变元非 降，左 连续，而 且满足(2.6) 及(2.7) ，即 F(−, y) = 0,， F(x,−) = 0, F(+,+) = 1 但有 F(1,1) − F(1,0) − F(0,1) + F(0,0) = −1, 这说明当取 a1 = a2 = 0, b1 = b2 =1 时(2.5)式不成立。所以 F(x, y) 不是分布函数。 13、证：必要性：