EIF(n+1)-F(n)]=lim F(n)=lim F(m) 由单调性得limF(x)与lmF(x)均存在且有穷,由0≤F(x)≤1及上式得 F(-∞)=0,F(∞)=1。 9、证:P{x1≤5≤x2}=P{≤x2}-P{<x1}=P{≤x2}-(1-P≤x2}) =P{≤x2}+P{2x1}-1≥(-B)+(1-a)-1=1-(a+B) ∴不等式成立 x∈(-∞,0 10、证法一:定义F(x)={P0≤5<x,x∈(0则F(x)是5的分布函数。由题 x∈(1,∞) 设得,对任意2x∈[0,1有P{0≤5<x}=P{x≤5<2x},即有 P0≤5<2x}=2P{0≤5<x}由此得F(2x)=2F(x)。逐一类推可得,若nx∈[0], 则F(nx)=nF(x),或者一F(x)=F(-)。从而对有理数一,若“x与x都属于[0,1 n 则有Hmx|=mF(x)。再由F(x)的左连续性可得,对任意无理数a,若ax与x都 属于[0,1,则F(ax)=aF(x) 因为区间[0,1)与[0,1的长度相等,由题设得 F(1)=P{0≤5<1=P{0≤5≤1}=1 由此及上段证明得,对任意x∈[0,有F(x)=xF(1)=x,即F(x)为 0 F(x)=x,0<x≤1 ∵.5服从[0,1上均匀分布。 证法二:如同证法一中定义5的分布函数F(x),由F(x)单调知它对[O,1上的L一测 试几乎处处可微。设x1,x2∈(0.1),当x1+Ax∈[0l](=1,2)时,由题设得 F(x,+Ax)-F(x=Px ss<x+Ax) P{x2≤5<x2+△x}=F(x2+△x}-F(x2) 等式两端都除以△x,再令Δx→>0可得,由F(x1)存在可推得F(x2)也存在,而且 F(x2)=F(x1)从而对任意x∈(0,1)有F(x)≡C。当x百[0时显然有F(x)=0。 点的长度为0,由题设得P{5=0}=P{=l}=0。由上所述可知ξ是连续型随机变 量,F(x)是其密度函数,从而定出c=1。至此得证服从[0,1均匀分布。 1l、证:(1)fG(x)= ra exp_(x-m) 2F(n 1) F(n) lim F(n) lim F(m) n m n → →−  → =  + − = = 。 由 单 调 性 得 lim F(x) x→− 与 lim F(x) x→ 均 存 在 且 有 穷 ， 由 0  F(x)  1 及上式得 F(−) = 0, F() = 1。 9、 证： { } { } { } 1 2 2 1 P x   x = P   x − P   x { } (1 { }) 2 2 = P   x − − P   x = P{  x2 }+ P{  x1 }−1  (1−  ) + (1−) −1 = 1− ( +  ). ∴不等式成立。 10、证法一：定义            − = 1, (1, ) {0 }, (0,1] 0, ( ,0] ( ) x P x x x F x  则 F(x) 是  的分布函数。由题 设得，对任意 2x [0,1] 有 P{0    x} = P{x    2x} ，即有 P{0    2x} = 2P{0    x} 。由此得 F(2x) = 2F(x) 。逐一类推可得，若 nx [0,1]， 则 F(nx) = nF(x) ，或者 ( ) ( ) 1 n x F x F n = 。从而对有理数 n m ，若 x n m 与 x 都属于[0,1]， 则有 F(x) n m x n m F  =      。再由 F(x) 的左连续性可得，对任意无理数 a ，若 ax 与 x 都 属于[0,1]，则 F(ax) = aF(x) 。 因为区间 [0,1) 与[0,1]的长度相等，由题设得 F(1) = P{0    1} = P{0    1} = 1. 由此及上段证明得，对任意 x [0,1] 有 F(x) = xF(1) = x ，即 F(x) 为          = 1, 1 , 0 1 0, 0 ( ) x x x x F x ∴  服从[0,1]上均匀分布。 证法二：如同证法一中定义  的分布函数 F(x) ，由 F(x) 单调知它对[0,1]上的 L－测 试几乎处处可微。设 , (0,1) x1 x2  ，当 [0,1]( 1,2) x1 + x i = 时，由题设得 ( ) ( ) { } 1 1 1 1 F x + x − F x = P x    x + x { } ( } ( 2) 2 2 2 = P x   x + x = F x + x − F x 等式两端都除以 x ，再令 x →0 可得，由 '( ) 1 F x 存在可推得 '( ) 2 F x 也存在，而且 '( ) 2 F x '( ) 1 = F x 。从而对任意 x (0,1) 有 F'(x)  c 。当 x  [0,1] 时显然有 F'(x) = 0 。 一点的长度为 0，由题设得 P{ = 0} = P{ = 1} = 0 。由上所述可知  是连续型随机变 量， F'(x) 是其密度函数，从而定出 c =1 。至此得证  服从[0,1]均匀分布。 11、证：（1）       − = − 2 2 2 2 1     ( x m ) f ( x ) exp