七、(本题15分)设F(x)是0,+∞)上的单调递减函数,limF(x)=0,且 lim F(t sin-dt=0 证明:(i) lim F(x)=0,(i)im/F(t)sin(xrt=0. 证明:首先,对任何x∈R,不难由关于无穷积分收敛性的 Dirichlet判别法得 到 F(t)sin(xt)dt收敛.下记 f(a) F(t)sin(xt)dt,Vx∈R 由于F单调下降, (nt)sint dt F(2nk +nt)-F(2nk +2nT -nt))sint dt Vk=0.1 从而 F(t)sin -dt (2k+2)丌 nF(nt)sint da nF(nt) sint dt m(F(nt)-F(2nT-nt))sint dt n(f(nt)-F(2n t dt 3 第11页(共13页)七、 (本题 15 分) 设 F(x) 是 [0, +∞) 上的单调递减函数, lim x→+∞ F(x) = 0, 且 lim n→+∞ ∫ +∞ 0 F(t) sin t n dt = 0. 证明: (i) lim x→+∞ xF(x) = 0, (ii) limx→0 ∫ +∞ 0 F(t) sin(xt) dt = 0. 证明: 首先, 对任何 x ∈ R, 不难由关于无穷积分收敛性的 Dirichlet 判别法得 到 ∫ +∞ 0 F(t) sin(xt) dt 收敛. 下记 f(x) = ∫ +∞ 0 F(t) sin(xt) dt, ∀ x ∈ R. 由于 F 单调下降, ∫ (2k+2)π 2kπ F(nt) sin t dt = ∫ π 0 ( F(2nkπ + nt) − F(2nkπ + 2nπ − nt) ) sin t dt ≥ 0, ∀ k = 0, 1, 2, . . . . 从而 f (1 n ) = ∫ +∞ 0 F(t) sin t n dt = ∫ +∞ 0 nF(nt) sin t dt = ∑∞ k=0 ∫ (2k+2)π 2kπ nF(nt) sin t dt ≥ ∫ 2π 0 nF(nt) sin t dt = ∫ π 0 n ( F(nt) − F(2nπ − nt) ) sin t dt ≥ ∫ π 2 0 n ( F(nt) − F(2nπ − nt) ) sin t dt ≥ n [ F (nπ 2 ) − F (3nπ 2 )] ∫ π 2 0 sin t dt = n [ F (nπ 2 ) − F (3nπ 2 )] ≥ 0. 第11页 ( 共 13页)