(5分) 结合limr/1 lim nF (7分) 这样,任取6>0,有N>0使得当n>N时,有 3m丌 从而对任何m>0,n>N有 3k+1n丌 +nF 6 m+1n丌 3k 2+n7/3m+n 上式中令m→+∞,由imF(x)=0得到 0<nF Vn>N 所以 lim nF (9分) 进一步利用单调性,当x>时,有 0≤xF(x)≤丌[F 其中s表示实数s的整数部分.于是可得 lim x F(r)=0 第12页(共13页). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分) 结合 lim n→+∞ f (1 n ) = 0 得 lim n→+∞ n [ F (nπ 2 ) − F (3nπ 2 )] = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (7 分) 这样, 任取 δ > 0, 有 N > 0 使得当 n > N 时, 有 n    F (nπ 2 ) − F (3nπ 2 )   ≤ δ. 从而对任何 m > 0, n > N 有 0 ≤ nF(nπ 2 ) ≤ ∑m k=0 n    F (3 knπ 2 ) − F (3 k+1nπ 2 )   + nF(3 m+1nπ 2 ) ≤ ∑m k=0 δ 3 k + nF(3 m+1nπ 2 ) ≤ 3δ 2 + nF(3 m+1nπ 2 ) . 上式中令 m → +∞, 由 lim x→+∞ F(x) = 0 得到 0 ≤ nF(nπ 2 ) ≤ 3δ 2 , ∀ n > N. 所以 lim n→+∞ nF(nπ 2 ) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (9 分) 进一步利用单调性, 当 x > π 2 时, 有 0 ≤ xF(x) ≤ π [2x π ] F ([2x π ] · π 2 ) , 其中 [s] 表示实数 s 的整数部分. 于是可得 lim x→+∞ x F(x) = 0. 第12页 ( 共 13页)