Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@ Phys. FDU m+1)!! (p)=2:(2 2m+1) 2 6(2m+1)2mp m=6m!(4p)2p2 所以,sin√4Ye 其中用到了r(a+1)=a(a),以及()= 二、 Laplace变换的反演问题与 梅林反演公式( Mellin inversion formule) 1反演问题[习惯于正问题,换种思维问反问题(有时候特别管用);正问题有 必然结果,反问题不一定,存在性?唯一性?] i.位移定理:如果列(p)(),λ是复常数,则 列(p+2)4(t) 证明:ok「k-1kd=o+m)d=列(p+) ⅱ象函数求导定理:如果(p)纱(),则可(p)>(-)o() 般地,对自然数n,有一般地,对自然数n,有 列(p)+>(-1)g(0). 证明: 可(p) dp o( Je"d=Lo()e"]dr (-1)()ed(-1)() ⅲ象函数积分定理:如果页(P)分,而且∫o()d=(Rep>s)收敛, 则「@()d [说明]这里的积分是复变积分,其上限应理解为Rep→∞,并且因 其积分路径在φ(p)的解析区域,所以与积分路径无关(沿正 实轴积分)。Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 0 0 1 2 2 1 4 3 3 0 2 2 1 2 1 !! 1 2 1 !! ( ) 2 1 ! 2 1 ! 2 2 2 1 . ! 4 2 2 m m m m m m m m m p m m m m p m m p p p e m p p p        + = = +  − = − + − + = = + + − = =    所以， 1 4 3 2 sin , 2 p t e p  −  其中用到了 ( +1) = () ，以及  ) =  2 1 ( . 二、Laplace 变换的反演问题与 梅林反演公式 (Mellin inversion formule) 1.反演问题 [习惯于正问题，换种思维问反问题(有时候特别管用)；正问题有 必然结果，反问题不一定，存在性？唯一性？]： i. 位移定理：如果  ( p)  (t) ，是复常数，则 ( ) . ( ) t p t e     − +  证明： ( )  ( )  ( ) ( ) d d ( ) 0 0          = = +    − +  − − − t e t e e t t e t p t t pt p t . ii. 象函数求导定理：如果  ( p)  (t) ，则 (p)  (−t)(t). 一般地，对自然数 n，有一般地，对自然数 n，有 ( ) p t (t) n n  ( )  (− )  . 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 d d d d ( ) d ( ) . pt pt pt p t e t t e t p p t t e t t t        − −  −   = =      = −  −    iii. 象函数积分定理：如果  ( p)  (t) ，而且   p  (z)dz ( ) Re 0 p  s 收敛， 则 ( ) ( )d . p t z z t      [说明]这里的积分是复变积分，其上限应理解为 Re p →  ，并且因 其积分路径在  ( p) 的解析区域，所以与积分路径无关（沿正 实轴积分）