·170· 智能系统学报 第15卷 证明假设A、B、C是U上的3个有限集合。 理2可知，6(，)是U上的距离度量。通过定理1 显然，6(，)满足正定性和对称性。通过文献[36] 可知，类似于EMD,RASD也是U上的距离度量。 可知： 由定义7和定义8可知，无论X为U上的 (∑()-∑()+（∑μ）-∑(》≥ 个清晰集还是模糊集，RASD都可以刻画两个知 IEAUB xEBUC 识空间之间的对X近似刻画能力的差异，即 (∑(-∑ RASD不仅适用于经典粗糙集，同样适用于粗糙 REAnC 模糊集。由于继承了EMD的优点，RASD能够有 显然 效和直观的刻画不同知识空间对目标概念的描述 -县 ∑μ)-∑μ 能力的差异性。 KEAnB xEBnC I01 IUI 例3（续例1） RASD(U/R(X),U/R2(X)= ∑)-∑ EAUC EAnC ∑∑si IUI i=ljl 10 = 则 6A,B)+6B,C≥6A,⊙ 2 2 3. 1 ×4+号×2+g×1+g×2 因此，6(，)是U上的一个距离度量。 =0.209 9 例2假设U=,,,,X=03+ 2.2粗糙粒结构的结构特征 05,07+09+08+05+02是U上的一个目标 定理4设一个信息系统S=(U,CUD,V,f, 55x45x6 R、R2、RSC,X是U上的一个目标概念。如果R1S 概念，A=,,,x,B={x,6,,则A=03+ R2 C R3,RASD(U/R(X).U/R;(X))=RASD(U/R (X). 05+02+09.B-09+08+05+2∑=39. U/R2(X))+RASD(U/R2(X).U/R3(X)). 十 x456 证明假设U={x1,x2,…,xn}是一个非空论域， ∑)=0.7+0.9=1.6，∑)=0.3+0.5+0.7+0.9+ U/R={p1,P2,,P,U/R2={q1,92,…,9m}和U1R= 0.8+0.5=3.7,因此，64B-3.7-16=0.3。 {,2,…,}是U上的3个知识空间。由于R≤ 7 定义8设一个信息系统S=(U,CUD,Vf), R2SR,故UIR≤U/R2≤U/R。为了简单化，本文假 R,RSC,X是U上的一个目标概念。U/R1= 设仅有一个信息粒p1(p1∈U/R)细分为两个更细 {p1,P2,…,Pl和U/R2={q,92,…,9m}是U上的两个 的信息粒q1、92(q1,92∈U/R),仅有一个信息粒1 知识空间。对于描述X、U/R和U/R2的知识距离 细分为两个更细的信息粒”，2（其他复杂情形均 定义为 可转化为这种情形，这里不再重复)。则P1=qU 92,p2=q3,…,Pn=qm(m=1+1),q1=nUn,92=r3, ∑ …,9n=r(s=m+1),那么U/R2={q1,q2,pP2,pP3,…,pl RASD(U/R(X),U/R2(X))= (7) 以及U/R3={,n,92,,…,qml}。通过公式，可得： 式中：6=6p.q),p和9分别代表p:和q对应 RASD(U/R(X).U/R(X))= 的模糊集；f=lp:ngo (∑μ-∑μx∑μ() 由于对同一论域进行划分的不同知识空间 I01 的对象数是相同的.即∑pl=∑l=M,式() RASD(U/R(X).U/R3(X))= 1 符合约束条件式(4)。同样，式(7)符合约束条件 (∑μ)-∑μ)∑μ() 式(1(3). 22 1= IUI 定理3假设U为一个非空有限论域，RASD 由于p1=q1Uq2和qh=nU2,故4，=4，+4 是U上的一个距离度量。 和，=4+o 证明假设U/R1={p1,P2,…,P}和U/R2= RASD(U/R(X).U/R2(X))= q1,q2,…,9m}是两个U上的知识空间。对于同 个论域而言，式()中pl=al=u。由定 1nt)-(G+) IUI 101 =1Ae Be Ce U δ(·,·) 证明 假设 、 、 是 上的 3 个有限集合。 显然， 满足正定性和对称性。通过文献 [36] 可知： ( ∑ x∈Ae∪Be µ(x)− ∑ x∈Ae∩Be µ(x))+( ∑ x∈Be∪Ce µ(x)− ∑ x∈Be∩Ce µ(x)) ⩾ ( ∑ x∈Ae∪Ce µ(x)− ∑ x∈Ae∩Ce µ(x)) 显然 ∑ x∈Ae∪Be µ(x)− ∑ x∈Ae∩Be µ(x) |U| + ∑ x∈Be∪Ce µ(x)− ∑ x∈Be∩Ce µ(x) |U| ⩾ ∑ x∈Ae∪Ce µ(x)− ∑ x∈Ae∩Ce µ(x) |U| 则 δ(Ae,Be)+δ(Be,Ce) ⩾ δ(Ae,Ce) 因此， δ(·,·) 是 U 上的一个距离度量。 U = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7},X = 0.3 x1 + 0.5 x2 + 0.7 x3 + 0.9 x4 + 0.8 x5 + 0.5 x6 + 0.2 x7 U A = {x1, x2, x3, x4} B = {x4, x5, x6, x7} Ae= 0.3 x1 + 0.5 x2 + 0.7 x3 + 0.9 x4 Be= 0.9 x4 + 0.8 x5 + 0.5 x6 + 0.2 x7 ∑ x∈X µ(x) = 3.9 ∑ x∈Ae∩Be µ(x)=0.7+0.9=1.6 ∑ x∈Ae∪Be µ(x) = 0.3+ 0.5+0.7+0.9+ 0.8+0.5 = 3.7 δ(Ae,Be) = 3.7−1.6 7 = 0.3 例 2 假 设 是 上的一个目标 概念， ， ，则 ， ， ， ，因此， 。 S = (U,C ∪ D,V, f) R1,R2 ⊆ C X U U/R1 = {p1, p2,··· , pl} U/R2 = {q1,q2,··· ,qm} U X U/R1 U/R2 定义 8 设一个信息系统 ， ， 是 上的一个目标概念。 和 是 上的两个 知识空间。对于描述 、 和 的知识距离 定义为 RASD(U/R1(X),U/R2(X)) = ∑l i=1 ∑m j=1 δi j fi j |U| (7) δi j = δ(epi ,qej) epi qej pi qj fi j =   pi ∩qj    式中： ， 和 分别代表 和 对应 的模糊集； 。 ∑l i=1 |pi | = ∑m j=1   qj    = |U| 由于对同一论域进行划分的不同知识空间 的对象数是相同的，即 ，式 (7) 符合约束条件式 (4)。同样，式 (7) 符合约束条件 式 (1)~(3)。 U RASD U 定理 3 假设 为一个非空有限论域， 是 上的一个距离度量。 U/R1 = {p1, p2,··· , pl} U/R2 = {q1,q2,··· ,qm} U ∑l i=1 |pi | = ∑m j=1   qj    = |U| 证 明 假设 和 是两个 上的知识空间。对于同一 个论域而言，式 (7) 中 。由定 δ(·,·) U U 理 2 可知， 是 上的距离度量。通过定理 1 可知，类似于 EMD，RASD 也是 上的距离度量。 X U X 由定义 7 和定义 8 可知，无论 为 上的一 个清晰集还是模糊集，RASD 都可以刻画两个知 识空间之间的对 近似刻画能力的差异， 即 RASD 不仅适用于经典粗糙集，同样适用于粗糙 模糊集。由于继承了 EMD 的优点，RASD 能够有 效和直观的刻画不同知识空间对目标概念的描述 能力的差异性。 例 3(续例 1) RASD(U/R1(X),U/R2(X)) = ∑2 i=1 ∑3 j=1 δi j fi j |U| = 2 9 ×4+ 2 9 ×2+ 3 9 ×1+ 1 9 ×2 9 = 0.209 2.2 粗糙粒结构的结构特征 S = (U,C ∪ D,V, f) R1 R2 R3 ⊆ C X U R1 ⊆ R2 ⊆ R3 RASD(U/R1(X),U/R3(X)) = RASD(U/R1(X), U/R2(X))+RASD(U/R2(X),U/R3(X)) 定理 4 设一个信息系统 ， 、 、 ， 是 上的一个目标概念。如果 ，则 。 U = {x1, x2,··· , xn} U/R1 = {p1, p2,··· , pl} U/R2 = {q1,q2,··· ,qm} U/R3 = {r1,r2,··· ,rs} U R1 ⊆ R2 ⊆ R3 U/R1≺U/R2≺U/R3 p1(p1 ∈ U/R1) q1 q2(q1,q2 ∈ U/R2) q1 r1,r2 p1 = q1∪ q2 p2 = q3 pn = qm (m = l+1) q1 = r1 ∪r2 q2 = r3 qn = rs(s = m+1) U/R2 = {q1,q2, p2, p3,··· , pl} U/R3 = {r1,r2,q2,q3,··· ,ql} 证明 假设 是一个非空论域， ， 和 是 上的 3 个知识空间。由于 ，故 。为了简单化，本文假 设仅有一个信息粒 细分为两个更细 的信息粒 、 ，仅有一个信息粒 细分为两个更细的信息粒 (其他复杂情形均 可转化为这种情形，这里不再重复)。则 ， ， … , ， ， ， …, ，那么 以及 。通过公式，可得： RASD(U/R1(X),U/R2(X)) = 1 |U| ∑l i=1 ∑m j=1 ( ∑ x∈pei µ(x)− ∑ x∈qej µ(x)) ∑ x∈qej µ(x) |U| RASD(U/R1(X),U/R3(X)) = 1 |U| ∑l i=1 ∑s k=1 ( ∑ x∈pei µ(x)− ∑ x∈rek µ(x))∑ x∈rek µ(x) |U| p1 = q1 ∪q2 q1 = r1 ∪r2 µp1 = µq1 +µq2 µq1 = µr1 +µr2 由于 和 ，故 和 。 RASD(U/R1(X),U/R2(X)) = 1 |U| · µp1 ( µq1 +µq2 ) − ( µ 2 q1 +µ 2 q2 ) |U| ·170· 智 能 系 统 学 报 第 15 卷