两向量的数量积 例2：已知M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2) (3)计算MA,M,得到MA=MB （1)证明三点不共线 (4)计算cos(MA,M,得到∠AMB=60° (2)证明△4MB是底角为60°等腰三角形 证明：(1)显然MA=(1,1,0),MB=(1,0,1) 分析 由于1：1：0≠1：0：1，故MA,MB不共线 (1)联想三点M,A,B不共线的充要条件 是MA,MB不共线 因此M,A,B三点不共线 (2)联想到△4MB是底角为60°等腰 (2)由于M4=VP+P+0=2, 三角形的充要条件是两边相等底角 M=P+02+P=5 为60 cos∠AMB MA.MB 1×1+1×0+0×11 证明思路： MA MB √2×√2 （1)求出MAMB坐标 所以 ∠AMB=60° (2)判断MA,MB不共线从而M,A,B不共线 因此△4MB是底角为60°等腰三角形一、 两向量的数量积 例 2：已知 M A B (1,1,1), (2,2,1), (2,1,2) （1）证明三点不共线 （2）证明AMB 是底角为 0 60 等腰三角形 分析 是 MA MB , 不共线 （2）联想到AMB 是底角为 0 60 等腰 三角形的充要条件是两边相等底角 为 0 60 （1）联想三点 M A B , , 不共线的充要条件 证明思路： （1）求出 MA MB , 坐标 （2）判断 MA MB , 不共线从而 M A B , , 不共线 （3）计算 MA MB , ，得到 MA MB  （4）计算 cos ,  MA MB ，得到 0   AMB 60 证明：（1）显然MA MB   1,1,0 , 1,0,1    由于1:1:0 1:0:1  ，故MA MB , 不共线 因此 M A B , , 三点不共线 （2）由于 2 2 2 MA     1 1 0 2 ， 2 2 2 MB     1 0 1 2 1 1 1 0 0 1 1 cos 2 2 2 MA MB AMB MA MB            ， 所以 0   AMB 60 因此AMB是底角为 0 60 等腰三角形