第6期 王省哲等：弹性力学问题复变函数解法的应用与发展 113 过应用这种理论去求解一些经典问题，为工程上具体应用和 法.最具有代表性以及在一些力学领域得到成功应用的是 推广提供了一些有用的数据或者公式。近年来保角映射还被 1983年Hromadka II和Guymon创立的复变量边界元法 用于求解具体问题中应力强度因子的近似解，其多用于边界 (CVBEM)).该方法的核心思想是将柯西积分公式转化为 裂纹且裂纹垂直于边界的直边界情形及星形状裂纹情形，虽 边界积分方程，并用于数值求解二维的拉普拉斯方程或泊松 然所求的并非精确解，但具有较高精度 方程.这种方法的优点是区域内部的近似函数是解析的并精 目前保角映射法用于动态断裂力学的情形并不多见，这 确满足势方程，以及在边界单元上的积分是可以精确获得而 是由于动态问题多了一个时间变量，问题的描述方程由椭圆 无需数值积分技术.其在处理诸如不同材料、各向异性材料等 型变成一个波动方程.在求解动态断裂问题的解析解，特别 问题时也有一定的优势.目前这一方法进一步被Hromadka 是精确分析时，多采用Fourier分析法，即类似于谁静态情 本人发展到了三维和高维问题中).但是由于这种方法数 形，这样复变函数法同样适用.尽管采用复变函数法对断裂 学处理上的难度，与目前有限元法、有限差分法以及常规的 力学问题分析的范围较狭窄，但是从现在得到的结果来看， 边界元法等较为常见的数值方法相比，复变量边界元法的应 即使是变速的裂纹传播问题亦可以用常速时得到的结论去近 用范围依然要狭小得多，但对于某些特定问题，其不失是一 似地代替其裂纹尖端处瞬时的应力强度因子，从这个角度来 种有效的求解途径 说，能得到具体问题的解析解，即使模型稍显简单，其意义 还是非常大的 参考文献 复变函数法在复合材料的裂纹问题中亦显示出其有效 1 Muskhelishvili NI.Some Basic Problems of the Mathemat- 性.对于带裂纹的复合材料，实际应用中最重要的是关注在 ical Theory of Elasticity.Netherlands:Noordholf,1953( 裂纹端点附近应力集中的状态，而这种状态可由复函数(， 4版) 中(z)+(z)在端点之=士a附近的状态确定 2 Kolosov GV.Application of complex variables in the theory of elasticity (in Russian).Moscow-Leningrad,1935 个a )= 2ri 2(dz+o(1) (6) 3 England AH.Complex Variable Method in Elasticity.New t-z York:Wiley,1971 4 England AH.Bending Solutions for inhomogeneous and '(2)+(）= 2()dx 2xi laminated elastic plates.J Elasticity,2006,82:129~173 5路可见.平面弹性复变方法.武汉：武汉大学出版社，1986 1 2(dr+o(1 (7) 6路可见，蔡海涛。平面弹性理论的周期问题。长沙：湖南科学技 2mi。x- 术出版社，1986 进而可以由H(士a)函数类决定.这样计算工作只限于求 7依·涅·维库阿，广义解析函数（上，下）北京：人民敦育出版 H(土a),也减轻了计算工作量 社，1960 8樊大钧等.空间弹性力学一复变函数论的应用。成都：四川科 4复变函数法在力学问题中新的应用与发展 学技术出版社，1985 近些年，在前人理论和工作经验的基础上，对于一些弹 9 Li Xing.Applications of Doubly Quasi-Periodic Bound- ary value Problem in Elasticity Theory.Copyright Shaker 性平面问题和断裂问题的复变函数方法有些学者进行了改进 Verlag 2001.Printed in Germany. 和完善，并且复变函数法已极大地拓展了原有的在平面弹性 10贾普荣.弹性力学空间问题的复变函数解.力学与实践，1995， 问题领域的应用，在许多新问题中有了积极的探索与使用， 17(3):7375 (1)结合复变函数解法在平面问题中的成功做法而推广 11 Piltner R.The use of complex valued functions for the so- 到与新材料相关的力学交叉学科与领域，诸如压电材料中的 lution of three-dimensional elasticity problem.J Elasticity, 裂纹力学分析、准晶材料的二维接触问题、纤维增强复合材 1988,18:191225 12 Hromadka II TV.The Complex Variable Boundary Ele- 料、岩土中的弹性波问题、平面任意形状夹杂问题、带空洞 ment Method.Berlin:Springer-Verlag,1984 的平面热弹性问题，等等. 13 Hromadka II TV.A Multi-dimensional Complex Variable (2)复变函数与数值近似计算的结合孕育出新的数值方 Boundary Element Method,Witpress,2002 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net第 期 王省哲等 6 : 弹性力学问题 复变 函数解法的应用与发展 1 13 过应用这种理 论去求解一些经典问题 , 为工程上具体应用和 推广提供了一些有用 的数据或者公式 . 近年 来保角映射还被 用于求解具体 问题 中应力强度因子的近似解 , 其多用于 边界 裂纹且裂纹垂直于边界 的直边界情形及星形状裂纹情形 , 虽 然所求的并非精确解 , 但具有较高精度 . 目前保角映射法用于动态断裂力学的情形并不多见 , 这 是 由于动态 问题多 了一个时间变量 , 问题 的描述方程由椭 圆 型变成 一个波动方程 . 在求解动态断裂问题的解析解 , 特别 是精确 分析时 , 多采用 oF u ir er 分析法 , 即类似于准静态情 形 , 这样复变函数法 同样适用 . 尽管采用复变函数法对 断裂 力学 问题分析的范围较狭 窄 , 但是从现在得到的结果来看 , 即使是变速的裂纹传播 问题亦可 以用常速时得到的结论去近 似地代替其裂纹尖端处瞬时的应力强度 因子 , 从这个 角度来 说 , 能得到具体 问题的解析解 , 即使模型稍显简单 , 其意义 还是非常大的 . 复变 函数 法在复合材料 的裂纹 问题 中亦 显示 出其有效 性 . 对于带裂纹 的复合材料 , 实际应用 中最重要 的是关注在 裂纹端 点附近应力集中的状态 , 而这种状态可由复 函数 诚司 , 云训( : ) + 劝( : ) 在端点 二 = 士 a 附近的状态确定 法 . 最 具有代表性 以及在 一些力学 领域得到 成功应用 的是 1 9 8 3 年 H or m a d k a H 和 G u y m o n 创立的复变量边界元法 ( c v B E M )[ ` 2 } . 该方法的核心思想是将柯西积分公式转化为 边界积分方程 , 并用于数值求解二维的拉普拉斯方程或泊松 方程 . 这种方法的优点是区域 内部的近似函数 是解析的并精 确满足势方程 , 以及在边界单元上的积 分是可 以精确获得而 无需数值积 分技术 . 其在处理诸如不 同材料 、 各向异性材料等 问题时也有一 定的优势 . 目前这一方法进 一步被 H or m a d ka 本人发展到 了三维和高维问题 中 l[ “ } . 但是 由于这种方法数 学处理上的难度 , 与 目前有限元法 、 有限差分法以及常规 的 边界元法等较为常见的数值方法相比 , 复变量边界元 法的应 用范围依然要狭 小得多 , 但对 于某些特 定问题 , 其不失是一 种有效的求解途径 . 参 考 文 献 拭 : ) 一 共` 7T I J 厂一 。 黑 d · + 。 ( ` ’ ( 6 ) 1 f a 口 ( x ) , 名甲 气名 少十 甲 气艺 少二 一 万二 I — u ￡ 一 ` 泪 J _ a 子 一 艺 口 f 忽 、 _ 王亡仓 “ ` + o( l ) ( 7 ) 进 而可 以由 H (士 a) 函数类决 定 . 这样计 算工作只 限于求 H (士a) , 也减轻 了计算工作量 . 4 复变函数法在力学问题 中新 的应 用与发展 近些年 , 在前人理论和工 作经验的基础上 , 对 于一些弹 性平面问题和断裂问题 的复变函数方法有些学者进行 了改进 和完善 , 并且复变函数法 已极 大地拓展 了原 有的在平面弹性 问题领域的应用 , 在许 多新问题中有 了积极的探 索与使用 . ( l) 结合复变函数解法在平面 问题 中的成功做法而推广 到与新材料相关 的力学交叉学科与领域 , 诸如压 电材料中的 裂纹 力学 分析 、 准晶材料的二维接触 问题 、 纤维增强复合材 料 、 岩土中的弹性波 问题 、 平面任意形状 夹杂问题 、 带空洞 的平面热弹性 问题 , 等等 . ( 2 ) 复变函数 与数值近似计算的结合孕育 出新 的数值方 1 M u s k h e li s h v i li N I . S o m e B a s i e P r o b l e m s o f t h e M a t h e m a t - i C a l T h e o r y o f E l a s t i e i t y · N e t h e r l a n d s : N o o r d h o l f , 19 5 3 (第 4 版 ) 2 K o l o s o v G V . A P P li e a t i o n o f e o m P l e x v a r i a b l e s i n t h e t h e o r y o f e l a s t i e i t y ( i n R u s s i a n ) . M o s e o w 一 L e n i n g r a d , 19 3 5 3 E n g l a n d A H . C o m p l e x Va r i a b l e M e t h o d i n E las t i e i t y N e w oY r k : W i l e y , 1 9 7 1 4 E n g l a n d A H . B e n d i n g S o l u t i o n s fo r i n h o m o g e n e o u s a n d l a m i n a t e d e l a s t i e p l a t e s . J E l a s t￡e : t v , 2 0 0 6 , 8 2 : 1 2 9 、 1 7 3 5 路可见 . 平 面弹性复变方法 . 武汉 : 武汉 大学 出版社 , 1 98 6 6 路可 见 , 蔡海涛 . 平面弹性理 论 的周期问题 . 长沙 : 湖南科学技 术出版社 , 1 9 8 6 7 依 · 涅 · 维库阿 . 广 义解析函数 (上 , 下 ) . 北京 : 人 民教育出版 社 , 1 9 6 0 8 樊大钧等 . 空 间弹性 力学 一 复变函数论的应用 . 成都 : 四 川科 学技术出版社 , 1 9 8 5 9 L i X i n g . A p p li e a t i o n s o f D o u b ly Q u a s i 一 P e r i o d i e B o u n d - a r y va l u e P r o b l e m i n E l a s t i e i t y T h e o r y . C o p y r i g h t S h a k e r Ve r l a g 2 0 0 1 . P r i n t e d i n G e r m a 叮 . 1 0 贾普荣 . 弹性 力学空间问题的复变函数解 , 力学与实践 , 19 9 5 , 1 7 ( 3 ) : 7 3、 7 5 1 1 P il t n e r R . T h e u s e o f e o m P l e x va l u e d fu n e t i o n s fo r t h e s o - l u t i o n o f t h r e e 一 d im e n s i o n a l e l a s t i e i t y p r o b l e m . J E l a s t z e 乞t夸, 1 9 8 8 , 1 8 : 19 } 、 2 2 5 1 2 H r o m a d k a 11 T V . T h e C o m p l e x Va r i a b l e B o u n d a r y E l e - m e n t M e t h o d . B e r li n : S p r i n g e r 一 Ve r l a g , 1 9 8 4 1 3 H r o m a d ka 11 T V . A M u l t i 一 d im e n s i o n a l C o m p l e x 、 ra r i a b l e B o u n d a r y E l e m e n t M e t h o d , Wi t p r e s s , 2 0 0 2 八了沁 止知