112 力学与实践 2008年第30卷 究，在国际上独树一帜.而在专著《平面弹性理论的周期问 函数法求解了一类双周期全平面弹性应力问题9，如：带 题》@一书中详细地论述了利用复变函数论与奇异积分方 双周期型裂纹的三维非均匀弹性体的第1类、第2类全平面 程对各向同性与异性平面弹性理论-·些周期问题，以及某些 应变问题以及带双周期型孔的三维非均匀弹性体的混合全平 周期运动载荷问题求解， 面应变问题.通过构造了Kolosov函数和复势建立边界值问 题，并在对柯西类积分进行适当修正的基础之上构造出了解 2复变函数解法在壳体和三维空间弹性问题的推 决问题的一般表达式.作者还运用相对位移构造出了修正的 广和应用 双周期第2类全平面应变问题的3类方程式，得出几类特殊 复变函数用于弹性平面问趣中的解答主要可以归结为解 情形封闭形式的一般解法等 析函数的古典理论的应用，但随着复变函数应用研究领域的 此外，一些学者将三维弹性问题位移解法对应的3个双 扩充，目前已经渗透到椭圆型方程的一般理论，其开始的研 调和伽辽金位移函数f(x,,),(i=1,2,3),采用将其表示 究仅限于具有解析系数的方程，之后又扩展到具有非解析系 为一个实函数G(t)和复变量函数H,(s,),(i=1,2,3) 数的方程领域并获得了一些结果。这些结果扩充了复变函数 乘积而获得求解，并进而采用位移函数给出空间弹性力学问 论中解析函数的古典理论和应用范围，并进一步推广了一类 题的3个位移分量，以及采用几何方程和物理方程给出应变 与解族相关联的函数类，这类函数保持了单值解析函数的一 和应力分量等1o.其中代表性的是德国的R.Piltner在20 系列基本的拓扑性质如唯一性、幅角原理等，并且推广了如 世纪80年代末到90年代初的工作1山.还有一些学者提出 柯西积分公式、级数展开等解析性质.这种经过改变的解析 了正交双复数及其相应的双复变函数的概念，并将三维物理 函数我们称其为广义解析函数.前苏联科学院院士依·涅·维 问题变换到空间正交的两个复平面上进行分析和求解.这些 库阿在1960年出版了专著《广义解析函数》)，该书主要 提出的概念和方法如果进一步地推广和完善，可为力学、物 包含了作者和他的学生们的初次发表的研究成果.较为系统 理等问题的求解提供新方法和新手段，这方面的工作尚待学 地论述了广义解析函数的概念、一股性质以及一些基于古典 者们做进一步的深入研究， 的单值解析函数的原理和定理的推广等.值得更为关注的是 他们将广义解析函数理论拓展到曲面的无穷小变形问题和弹 3复变函数法的成功应用— 断裂力学问题 性壳体分析中，给出了正曲率薄壳应力复函数的方程式和用 惭裂力学是20世纪固体力学重大成就之一，随着断裂 应力复函数表示的力场，并将应力复函数用主应力来表示，描 力学的创立，特别是1957年后应力强度k理论的创立，人 述了实现薄壳无矩应力平衡状态的充要条件的复函数记法， 们的注意力又转到研究材料中的缺陷（裂纹）问题上来.有限 并将得到的公式推广到了带有边界的凸曲面情形 裂纹的引入使人们考虑问题的范围逐渐从单连通区域扩大到 Muskhelishvili专著《数学弹性力学的几个基本问题》 复杂边界上的裂纹问题（这种边界包含区域的边界、裂纹、 的问世，使得苏联弹性理论的复变函数学派在国际学术界的 拼接线等等)，这为复变函数法求解弹性平面问题提供了新 声誉迅速提高，并且应用保角映射法解决了一大类型的边值 的用武之地，也使得复变函数法展现出新的活力. 问题，但缘于复变函数是二维解析函数，当时尚不能用于求解 在断裂力学方面，用复变函数法.或者Muskhelishvili方 三维问题。在将复变函数法三维问题的推广工作，力学家、教 法是求解一个二维弹性断裂问题模型分析解的最有效的方法 育家唐立民教授可以说是国内第一人.1963年，其在《中 之一·保角映射的引入使得复变函数的优点发挥到了极致. 国科学》发表了“三维弹性问题的复变函数方法”一文.该 这主要是因为用复变函数方法求解可以充分地利用复解析函 文提出在x-y平面上用复变函数而z方向采用积分方程逐 数在边界上的已知解，借助于柯西积分确定出弹性区域内部 次迭代，解决了一种特殊类型的三维问题。其中一个特殊情 的值，而保角映射法的使用可以把不规则的单连通区域划为 况是，孔洞受不垂直于轴向的力的作用时，给出了基本方程 简单的规则区域一一单位圆盘或者上半平面，不仅使得积 和解法，可以完全代替这类问题的光弹实验，该研究成果不 分的曲线变得十分的简单，而且为进一步地解析延拓奠定了 仅在理论上富有创造性，而且具有实际意义.后来，国内的 基础，解析延拓又为复变函数的刘维尔定理确定函数的具体 樊大钧教授于20世纪80年代在为《应用数学与力学》讲 形式，即变隐函数为显函数提供了前提.可以说保角映射的 座而编著的一专题系列[8例中，较为系统地介绍了国际上60 引入，使得复变函数中的柯西积分、解析延拓、刘维尔定理 年代到80年代用复变函数论方法研究增性力学三维问题的 有机连接成为一个整体，为充分发挥复变函数这一极为有效 成果和作者的工作，特别是介绍了单、多连通区域内三维旋 的工具求解具体问题发挥了不可估量的作用。 转轴对称问题和非轴对称问题中的应用，以及广义解析函数 在后来的一些力学工作者的努力下，又引入了一些超越 在空问（非）轴对称问题中应用，并给出了大量的包括地下 函数的保角映射，使得原有的可用来作保角映射的函数类得 环形隧道、水下储罐等工程应用实例的讨论.全平面应力问 到了扩展，使Muskhelishvili方法在静力学中得到进一步发 题是三维弹性理论的一种特殊情况，宁复大学李星应用复变 展，在理论上为求解具体的断裂力学问题提供新的途径，通 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net1 1 2 力 学 与 实 践 0 0 年 第 0 卷 8 2 3 究 , 在 国际上独树一 帜 . 而在专著 《 平面弹性理论的周期 问 题》 0[] 一 书中详细地论述 了利用复变函数论 与奇异积 分方 程对各 向同性 与异性平面弹性理论 一些周期问题 , 以及 某些 周期运动载荷问题求解 . 2 复变函 数解法 在壳体和三 维空间弹性问题 的推 广和应 用 复变函数用于弹性平面 问题 中的解答主要 可以归结为解 析函数 的古典理论 的应用 , 但随着复变函数应用研 究领域 的 扩充 , 目前 已经渗透到椭圆型方程的 一般 理论 , 其开始 的研 究仅 限于具有解析系数的方程 , 之后又扩展到具有非解析系 数的方程领域并获得了一些 结果 . 这些结果扩充了复变 函数 论中解析函数的古 典理论和应用范 围 , 并进一步推广了一类 与解族 相关联的函数 类 , 这类函数保持了单值解析 函数 的一 系列基本的拓扑性质 如唯 一性 、 幅角原理等 , 并且推广 了如 柯西积分公式 、 级数展开等解析性质 . 这种经过改变 的解析 函数我们称其为 ) ’ 一 义解析函数 . 前苏联科学院院士 依 · 涅 · 维 库阿在 1 9 60 年出版 了专著 《广义解析 函数》 川 , 该书主要 包含了作者和他 的学 生们 的初次发表的研究成果 . 较为系统 地论述 了广义解析 函数的概念 、 一 般性质 以及一些基于古典 的单值解析函数的原 理和定理 的推广等 . 值得更为关注 的是 他们将广义解析函数理论拓展到 曲面的无穷小变形问题和弹 性壳体 分析中 , 给 出了正 曲率薄壳应力复 函数的方程式和用 应力复函数表示的力场 , 并将应力复 函数用主应力来表示 , 描 述了实现薄壳无矩应力平衡状态 的充要 条件 的复函数记法 , 并将得到的公式推广到了带有边界 的凸 曲面情 形 . M us hk iel hs vil i 专著 《数学弹性 力学 的几个基本 问题》 的问世 , 使得苏联弹性理论 的复变函数学派在国际学术界的 声誉迅速提高 , 并且应用保角映射法解决 了一大类型 的边值 问题 , 但缘于复变函数是二维解析函数 , 当时尚不能用于 求解 三维问题 . 在将复变函数法三维问题的推广工作 , 力学家 、 教 育家唐立民教授可以说是国内第一人 . 1 9 6 3 年 , 其在 《 中 国科学》 发表 了 “ 三维弹性 问题 的复变函数方法 ” 一 文 . 该 文提 出在 x 一 , 平面上用复变函数而 之 方 向采用积 分方程逐 次迭代 , 解决 了 一 种特殊类型的三维 问题 . 其中一 个特殊情 况是 , 孔洞受不垂直于轴 向的力 的作用时 , 给 出了基本方程 和解法 , 可 以完全代替这类 问题 的光弹实验 , 该研究成果不 仅在理论上富有创造性 , 而且具有实际意义 . 后来 , 国内的 樊大钧教授于 2 0 世 纪 8 0 年代在为 《应 用数学 与力学》 讲 座而编著的一 专题系列 sl[ 中 , 较为系统地介绍了国际上 60 年代到 80 年代用复变函数论方法研究弹性力学三维问题 的 成果和作者的工作 , 特别是介绍 了单 、 多连通区域 内三维旋 转轴对称问题和非轴对称问题 中的应用 , 以及广义解析 函数 在空间 (非) 轴对称 问题 中应用 , 并给 出了大量的包括地下 环形隧道 、 水下储罐等工程应用实例 的讨论 . 全平面应力问 题是三维弹性理论 的一 种特殊情况 , 宁夏大学李星应用复变 函数法求解了一 类双 周期全平面弹性应力 问题 回 , 如 : 带 双 周期型裂纹的三维非均匀 弹性体 的第 1 类 、 第 2 类全平面 应变问题以及带双周期型孔 的三维非均匀弹性 体的混合全平 面应变 问题 . 通过构造 了 K ol os o v 函数和复势建立边界值 问 题 , 并在对柯西类积 分进行适当修正 的基础之上构造 出了解 决 问题的一般表达式 . 作者还运用相对位移构造 出了修正 的 双 周期第 2 类全平面应变问题 的 3 类 方程式 , 得出几类特殊 情形封 闭形式的一般解法等 . 此外 , 一些学者将三维弹性问题位移解法对应 的 3 个双 调和伽辽金位移 函数 介( 二 , 军 , 劝 , ( 乞 = 1 , 2 , 3 ) , 采用将其表示 为一个实函数 G 、 ( t , ) 和复变量 函数 H , ( s , , 亏 ; ) , (乞= 1 , 2 , 3 ) 乘积 而获得求解 , 并进而采用位移函数给 出空间弹性力学 问 题 的 3 个位移 分量 , 以及采用几何方程和物理方程给出应变 和应力 分量等 l[ 0] . 其中代表性 的是德 国的 R . iP l t ne r 在 20 世纪 80 年代末到 90 年代初的工作 [川 . 还有一些学者提 出 了正交双 复数及其相应 的双 复变函数的概念 , 并将三维物理 问题变换到空间正交的两个复平面上进行分析和求 解 . 这些 提 出的概念和方法如果进一步地推 广和完善 , 可 为力学 、 物 理 等 问题的求解提供新方法 和新手段 , 这方面 的工作 尚待学 者们做进一步的深入研究 . 3 复变函数 法的成功应 用 — 断裂力学问题 断裂力学是 2 0 世纪 固体 力学 重大成就之一 随着 断裂 力学 的创立 , 特别是 1 9 5 7 年后应力强度 、 理论的创立 , 人 们 的注意力又转到研究材料 中的缺陷 (裂纹) 问题上来 . 有 限 裂纹 的引入使人们考虑问题 的范围逐渐从 单连通区 域扩大到 复杂边界上的裂纹问题 (这种边 界包 含区 域的边界 、 裂纹 、 拼接线等等) , 这为复变函数法求解弹性 平面问题提 供了新 的用武之地 , 也使得复变 函数法展现 出新 的活力 . 在断裂力学方面 , 用复变函数法 、 或者 M us k ile ils hv il 方 法是求解一个二维弹性断裂问题模 型分析解 的最有效的方法 之 一 保角映射 的引入使得复变 函数的优点发挥到 了极致 . 这主要是因为用复变函数方法求解可以充分地利用复解析函 数在边界上的 已知解 , 借助于柯西 积分确 定出弹性区域 内部 的值 , 而保角映射法 的使用可以把不规则的单连通区域划为 简单的规则区 域 — 单位 圆盘或者 上半 平面 , 不仅使得积 分的曲线变得十 分的简单 , 而且 为进 一 步地解析延拓奠定了 基础 , 解析延拓又为复变函数 的刘 维尔定理确定函数的具体 形式 , 即变隐函数为显 函数提供 了前提 . 可 以说保角映射的 引入 , 使得复变函数中的柯西积 分 、 解析延拓 、 刘维尔定理 有机连接成为一个整体 , 为充分发挥复变 函数这一极为有效 的工具求解具体 问题发挥 了不可估量 的作用 . 在后来的一 些力学工作者的努力下 , 又引入了 一 些超越 函数的保角映射 , 使得原有的可用来作保 角映射的函数类得 到 了扩展 , 使 M us k h el is h vi il 方法在静力学 中得到进一步发 展 , 在理论上为求解具体 的断裂力学问题提 供新的途径 ; 通