第6期 王省哲等：弹性力学问题复变函数解法的应用与发展 111 O:+y =4Red(z) 移函数的问题转化成了先计算一个Fredholm方程，然后通 (2) Oy -ox 2iTey =2['(z)+(2)] 过史尔曼变换计算两个柯西积分 其中p()和z)是z=x+iy的全纯函数(holomorphic 1.2A,HI England的著作(1971) functions),(z)=p'(z),p(z)=(z).并且他给出了一对 英国A.H England是近代将复变函数法应用于解决弹 复解析函数（之），()并使之与控制方程建立了一定的关 性静力学问题比较典型的代表，1971年出版的他的著作《弹 系，获得了一些简单情况下力学模型的复应力函数的一般表 性理论中的复变函数法》[例是继Muskhelishvili的著作后 达形式，即哥洛索夫一般表示（也有人称之为复Aiy表示， 的另外一部较完整地对复变函数法应用于弹性力学进行描述 或者Muskhelishvili表示)，这为后来的Muskhelishvili理论 和拓展的著作，此书介绍了线弹性平面应变和应力边值问题 的发展奠定了基础： 的复变函数解法理论，包括平面和半平面问题，圆形边界区 对于无体力的以位移u表示的弹性力学方程u=D, 域以及通过保角映射求解曲线边界区域问题等.AHEg 分别于1932年由Papkovich和1934年由Neuber都给出 land还开展了关于各向同性不均匀板（梯度功能板）问题的 了下述形式的解 复变函数解法研究，分析了用常规解法求解各向同性不 1 均匀板的问题时所遇到的问题，并提出了应用复变函数法解 u=p-40-) (po +r.p) (3) 决的思路和方法.通过引入关于板拉压变形的两个复函数势 V2p=0,V2p0=0 (s,(s)以及关于弯曲的两个复函数势a(s),B(s),提出 一个三维位移的表达式 其中p和po分别是矢量和标量函数，称为Papkovich- Neuber(简称P-N)通解.P-N通解采用调和函数表示位 u(c,,)+iw(x,,）=十s)-(- 移场，形式较为简单，因此有较广泛应用.在P-N通解中， (s)-2(2/1+)儿3(s)+s3r() 包含有4个任意的调和函数，如果能够做到根据特定问题的 边界条件，运用数学方法将4个未知的调和函数全部确定下 2)F()- 来，即可得到最理想的正解法，但至今尚未做到这一点. 8(2/K1F(-)-B(z)3"(s】 (4) 1933年，Muskhelishvili的专著《数学弹性力学的几 个基本问题》问世，此书为弹性力学平面问题的复变函数法 w(I,y,z)=a(s)+a(s)+5B(s)+ 进行了较全面的论述，阐述了复变函数法求解弹性平面问题 (()+ 丽+。2 的基本理论并概括了当时的许多新的研究成果.Muskhel ishvili的工作为数学力学界乃至工程领域所接受并且备受重 4(K2/k1G:)-C(z)(3'(s)+3'(s) (5) 视，吸引了许多人从事此领域的工作.除了弹性平面问题的 基于此表述得到的应力表达式很好地满足了在~=±h无面 复变函数解法，人们尚找不出来其他的名副其实的正解法. 力条件并应用于厚板的弹性静力学方程.用来解决平板应力 在其专著中，Muskhelishvili成功地给出了许多用其理论解 问题而引进的Kolosov-Muskhelishvili复势以及均匀的各向 决实际工程中静力学模型的例子，这些例子的结论至今仍然 同性材料的基本平面应变问题的解法可以用于不均匀的各向 被很好地运用着.Muskhelishvili的专著堪称弹性力学和数 同性材料平面力学问题的求解，并且这些方法已经被应用到 学力学书海中的瑰宝，让人们真正领略到了弹性力学正解法 解决具有柱形孔或线性裂纹板的边值问题中了. 的风采.由于该书在力学领域的极大影响和广受欢迎，分别 于1935年、1948年、1953年出版了第2版、第3版和第 1.3我国学者路见可的专著(1986) 4版.Muskhelishvili方法乃至复变函数理论能够在弹性静 弹性力学的复变函数法是在20世纪50年代末期引入 力学中得到成功的应用，与积分方程及奇异积分方程理论的 我国的.在后来的几十年中，我国著名数学家路见可教授对 发展和完善是分不开的.用Muskhelishvili方法求解弹性平 弹性理论复变方法的发展做出了很大的贡献.1986年他 面问题，虽然最初在其著作中给出了许多成功的范例，但受 所著的《平面弹性复变方法》专著例，以及路见可教授和他 方法的限制，作用并不能发挥出来.正如Muskhelishvili自 的合作者蔡海涛所著的《平面弹性理论的周期问题》代表了 己指出的一样，这种方法存在很大的局限性，要求保角映射 自60年代后十多年的我国学者的研究成果.在其专著《平 必须有理化.当时所用的方法多是直接应用柯西型积分及解 面弹性复变方法》··书中除了关于平面弹性问题化为解析函 析函数的性质，有时也借助于一些简单的保角映射，这种方 数边值问题，以及进一步化为积分方程的大体过程的简要介 法对一些形状非常特别的模型求解非常有效，但可惜的是这 绍外，对一些复杂边界条件诸如不同材料焊接的第一、二基 种方法也有很大的局限性.史尔曼变换的引入使问题的求解 本问题进行了论述，也包括了对循环对称平面问题的介绍与 有了很大的突破，将直接通过边界条件求解复应力函数或位 分析.路可见教授最先从事的是双周期条件下的弹性问题研 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net第 6 期 王省哲等 : 弹性力学问题复变 函数解法的应用与发展 1 1 1 x a + J 。 = 4 Re 拭 : ) ( 2 ) J 。 一 a 二 几 + 2 1 , = 2 ! 万沪 ` ( : ) + 尹 ( z ) ] 其中 沪 ( “ ) 和 劝( : ) 是 艺 = x + i , 的全纯函数 ( h o l o m o r p h i e fu n e t i o n s ) , 沪( z ) = 沪 ` ( : ) , 沪 ( : ) = 劝( z ) . 并且他给 出了一对 复解析函数 叻(的 , 劝(劝 并使之与控制方程建 立了一 定的关 系 , 获得 了一 些简单情 况下 力学模型的复应力函数的一般表 达 形式 , 即哥洛索夫一般表示 (也有人称之 为复 A i yr 表示 , 或者 M u s k h e li s h v i li 表示) , 这为后来 的 M u s k h e l i s h v il i 理论 的发展奠定了基础 . 对于 无体 力的以位移 。 表示的弹性 力学 方程 迢。 二 0 , 分别于 1 9 3 2 年 由 P a p ko v i e h 和 1 9 3 4 年由 N e u b e r 都给出 了下述形式的解 移函数的问题转化成了先计算一个 rF e d h ol m 方程 , 然后通 过史尔曼变换计算两个柯西积分 . 1 _ u 二 P 一 丁六 一一一六 ` V ( P 。 + 子 · P 少 任 L l 一 甲) / 。 、 气口 J 甲 Z p = o , v Z OP 二 0 1 . 2 A . H E n g l a n d 的著作 ( 1 9 7 1 ) 英 国 A . H E n g al n d 是近代将复变 函数法应用于解决弹 性静力学问题 比较典型 的代表 , 1 9 7 1 年出版的他 的著作 《弹 性理论中的复变函数法》 固 是继 M us k he ils h vi h 的著作后 的另外一部较完整地对复变函数法应用于弹性力学进行描述 和拓展的著作 . 此书介绍了线弹性平面应变和应力边值问题 的复变函数解法理论 , 包括平面和半平面 问题 , 圆形边界区 域 以及通过保角映射求解曲线边界区域 问题等 . A . H E n g - la n d 还开展了关于各向同性不均匀板 (梯度功能板) 问题 的 复变 函数解法研 究 闺 , 分析 了用常规解法求解各 向同性 不 均匀板的问题时所遇到 的问题 , 并提 出了应用复变函数法解 决的思路和方法 . 通过 引入关于板拉压变形的两个复函数势 拭 、 ) ,劝(灼 以及关于弯曲的两个复函数势 a (动 , 口(动 , 提出 一 个三维位移 的表达式 其 中 p 和 p 。 分别是 矢量和标量 函数 , 称 为 P a p ko vi c h- N e u b er (简称 P 一 N ) 通解 . P 一 N 通解采用调和函数表示位 移场 , 形式较为简单 , 因此有较广泛应用 . 在 P 一 N 通解中 , 包含有 4 个任意 的调和函数 , 如果能够做到根据特 定问题 的 边界条件 , 运用数学方法将 4 个未知 的调和函数全部确定下 来 , 即可得到最理想 的正解法 , 但至今尚未做到这一点 . 1 9 3 3 年 , M u s k h e l i s h v i l i 的专著 ( 数学弹性 力学 的fL 个基本 问题》 问世 , 此书为弹性力学平面 问题 的复变函数法 进行 了较全面的论述 , 阐述 了复变函数法求解弹性平面 问题 的基本理论并概括 了当时的许多新的研究成果 . M us k he l - is hv il 的工作为数学力学界乃至工程领域所接受并且备受重 视 , 吸 引了许多人从事此领域 的工作 . 除了弹性 平面 问题 的 复变函数解法 , 人们 尚找不出来其他 的名副其实的正解法 . 在其专著中 , M us k he ils h vi il 成功地给 出了许多用其理论解 决实际工程 中静 力学模型的例 子 , 这些例 子的结论至今仍然 被很好地运用着 . M us k he ils h vi h 的专著堪称弹性 力学和数 学力学书海中的瑰宝 , 让人们真正领略到 了弹性力学正解法 的风采 . 由于该书在力学领域的极 大影响和广受欢 迎 , 分别 于 1 9 3 5 年 、 1 9 4 5 年 、 1 9 5 3 年出版 了第 2 版 、 第 3 版和第 4 版 . M u sk he h hs vi h 方法乃 至复变函数理论能够在弹性静 力学 中得到成功的应用 , 与积分方程及奇异积分方程理 论的 发展和完善是分不开的 . 用 M us k he ils hvi U 方法求解弹性平 面 问题 , 虽然最初在其著作 中给出了许 多成功 的范例 , 但受 方法的限制 , 作用并不能发挥出来 . 正 如 M us k he ils hv il 自 己指出的一样 , 这种方法存在很大的局 限性 , 要求保角映射 必须有理化 . 当时所用的方法 多是直接应用柯西型积分及解 析函数 的性质 , 有时也借助于一些 简单 的保角映射 , 这种方 法 对一些 形状非常特别的模 型求解 非常有效 , 但可惜 的是这 种 方法 也有很大 的局限性 . 史尔曼变换的引入 使问题的求解 有了很 大的突破 , 将 直接通过边界 条件求解 复应力函数或位 , 、 . ` 、 心 + 1 : ` _ 、 _ 不; , 二 u 戈毖 , y , 芯 ) 一 I U 戈芯 , y , 乙 ) 一 甲一一一丁 甲L、 ) 一 、 甲 气、 ) 一 入 1 一 1 劝( 、 ) 一 2 ( 、 2 / 、 1 + : ) [尽( 、 ) + 、 口 ` ( 、 ) ] 一 2 2 歹面 + 全匕 尸 ( : )价 , , ( 、 ) - 凡 1 一 8 ( 、 2 / 、 I F ( : ) 一 B ( z ))口 “ ( 、 ) ( 4 ) 二 ( 二 , , , z ) = a ( 、 ) + 。 ( 、 ) + 郁 ( 、 ) + 、丽 + 毕下。 ( : ) (价 , ( 、 ) + 硒不万) - 凡 1 一 1 4 ( 、 2 / 、 I G ( : ) 一 C ( : ) ) (尽 ` ( 、 ) + 尽 ` ( 、 ) ) ( 5 ) 基于此 表述得到 的应力表达式很好地满足 了在 : = 土 h 无面 力条件并应用于厚板的弹性静力学方程 . 用来解决 平板应力 问题而引进的 K o l o s o v 一 M u s k h e li s h v i li 复势以及均匀的各 向 同性材料的基本平面应变问题 的解法可 以用于不均匀 的各向 同性材料平面力学问题 的求解 , 并且这些方法己经被应用到 解决具有柱形孔或线性裂纹板的边值 问题 中了 . 1 . 3 我国学者路见可的专著 ( 1 9 8 6 ) 弹性力学的复变函数法 是在 20 世纪 5 0 年代末期引入 我 国的 . 在后来 的几十年 中 , 我国著名数学家路 见可教授对 弹性理论复变方 法的发展做出了很大的贡献 . 1 9 8 6 年他 所著的 《平面弹性复变方法》 专著 sl[ , 以及路见可教授和他 的合作者蔡海涛所著 的 《平面弹性理论 的周期问题》 代表 了 自 6 0 年代后十多年的我 国学者 的研究成果 . 在其专著 《 平 面弹性复变方法》 一 书中除了关于平面弹性 问题化 为解析函 数边 值问题 , 以及进一步化为积分方程的大体过程 的简要介 绍 外 , 对 一些复杂边界条件诸如不同材料焊接的第一 、 二基 本 问题进行 了论述 , 也包括了对循环对 称平面 问题的介绍与 分析 . 路 可见教授最先从事 的是双 周期 条件下的弹性 问题 研