《数学分析)上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 证明只证1)由假设及定理1可知，)在6-d,)内递增，在化，七+⊙内递减又f) 在连续，故有f)≤f).即f(x)在取得极大值. 例1求f)=(c+6x-l)的单调区间及极值。 f)=3+IP(x-+3x+yx-=《+0-2 3x-15 令f)=0,设驻点x=-1,i,另有不可导点x=1,它们将函数的定义域划分为 a-.品.层，0*国四个区间 列表讨论如下： (-0,-l) (1,+∞) f'(x) 0 0 不存在 (x) 非极值 极大佳 极小值 可见，在®及网)上严格递.在斤》上严格减品为函数的极大值点，极 大植药-片洁为温数的展个面在民个面为m=0,不是质值 若f是二阶可导函数，则有如下判别极值的方法： 定理2（极值的第二充分条件）设f在点x的某邻域U(x,6)内一阶可导，在x=x处二阶 可导，且f"(x)=0,∫"(x)≠0，则有：(1)若"(x)<0,则f在x出取得极大值：(2)若f"(x)>0, 则f在x。出取得极小值 证明只证1)把f)在展开带Peano型余项的To1or公式得 《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 4 证明 只证 1）由假设及定理 1 可知, f x( ) 在 0 0 ( , ) x x − 内递增,在 0 0 ( , ) x x + 内递减,又 f x( ) 在 0 x 连续,故有 0 f x f x ( ) ( )  .即 f x( ) 在 0 x 取得极大值. 例 1 求 2 3 3 f x x x ( ) ( 1) ( 1) = + − 的单调区间及极值. 解 2 1 2 2 3 3 3 1 3 2 ( 1) (11 7) ( ) 3( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 3 3( 1) x x f x x x x x x − + −  = + − + + − = − . 令 f x ( ) 0 = .设驻点 x =−1 , 7 11 x = ,另有不可导点 x =1 ,它们将函数的定义域划分为 ( , 1) − − , 7 ( 1, ) 11 − , 7 ( ,1) 11 , (1, ) + 四个区间. 列表讨论如下： x (− −, 1) −1 7 1, 11     −   7 11 7 , 1 11       1 (1, +) f x ( ) + 0 + 0 − 不存在 + f x ( )  非极值  极大值  极小值  可见, f x( ) 在 7 ( , ) 11 − 及 (1, ) + 上严格递增,在 7 ( ,1) 11 上严格递减, 7 11 x = 为函数的极大值点,极 大值为 2 3 3 7 18 4 ( ) ( ) ( ) 11 11 11 f = . x =1 为函数的极小值点,极小值为 f (1) 0 = . x =−1 不是极值点. 若 f 是二阶可导函数,则有如下判别极值的方法： 定理 2（极值的第二充分条件） 设 f 在点 0 x 的某邻域 U( 0 x , )内一阶可导,在 x＝ 0 x 处二阶 可导,且 0 f x ( ) 0 = , 0 f x ( ) 0  ,则有：（1）若 0 f x ( ) 0  ,则 f 在 0 x 出取得极大值；（2）若 0 f x ( ) 0  , 则 f 在 0 x 出取得极小值. 证明 只证 1）把 f x( ) 在 0 x 展开带 Peano 型余项的 Taylor 公式得