《数学分析》上册教案 第六意微分中值定理及其应用 海自大学数学系 =f)+Xx-)+/2x-+-x 2 =f+'x-了+o-月 21 由此得对任意的x∈U(6)有 -)='2x-x+ox-P)="%2+o0x- 21 21 (*) +o与 这里o)为→名时的无穷小量，因而存在6>0当xeU(.cU,)时，2 )同号，故当八)<0时，()式右端取负值，从而xeU,时，fx)-f,)<0,即f) 在。取得极大值. 同样，当"(3)>0时，)在取得极小值。 当∫“()=0时，上述定理失效，但有： 注对于二阶导数无法判别的问题，可借助于更高阶的导数来判别. 定理3（极值的第三充分条件）设f在x,的某邻域内存在直到n一1阶导函数，在x,处n阶 可导，且(xo)=0,(k=1,2,n-1),(x)≠0，则(1)当n为偶数时，f在x,取得极值，且当 (x)<0时，取极大值：当(x,)>0时，取极小值：(2)当n为奇数时，f在飞，不取得极值 证明（同上一定理，用Taor展开式）. 二、极值判别的应用举例 例2求f()=sinx+cosx在(0,2π)上的极值. 解《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 5 0 2 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (( ) ) 2! f x f x f x f x x x x x x x   = + − + − + −  0 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) (( ) ) 2! f x f x x x x x   = + − + − . 由此得对任意的 0 x U x  ( ) 有 0 0 2 2 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) [ (1)]( ) 2! 2! f x f x f x f x x x x x x x     − = − + − = + − （*） 这里 (1) 为 0 x x → 时的无穷小量,因而存在   0 当 0 0 x U x U x   ( , ) ( )  时, 0 ( ) (1) 2! f x   + 与 0 f x ( ) 同号,故当 0 f x ( ) 0  时,（*）式右端取负值,从而 0 x U x  ( , )  时, 0 f x f x ( ) ( ) 0 −  ,即 f x( ) 在 0 x 取得极大值. 同样,当 0 f x ( ) 0  时, f x( ) 在 0 x 取得极小值. 当 0 f x ( ) 0 = 时,上述定理失效,但有： 注 对于二阶导数无法判别的问题,可借助于更高阶的导数来判别. 定理 3（极值的第三充分条件） 设 f 在 0 x 的某邻域内存在直到 n－1 阶导函数,在 0 x 处 n 阶 可导,且 ( ) 0 ( ) 0 k f x = ,（k＝1,2,.,n－1）, ( ) 0 ( ) 0 n f x  ,则（1）当 n 为偶数时,f 在 0 x 取得极值,且当 ( ) 0 ( ) 0 n f x  时,取极大值；当 ( ) 0 ( ) 0 n f x  时,取极小值；（2）当 n 为奇数时,f 在 0 x 不取得极值. 证明 （同上一定理,用 Taylor 展开式）. 二、极值判别的应用举例 例 2 求 f x x x ( ) sin cos = + 在 (0, 2 )  上的极值. 解 f x x x ( ) cos sin 0 = − = , 由此得 4 x  = , 5 4 x  = . f x x x ( ) sin cos = − − , 故