·120· 智能系统学报 第13卷 所要求的最小自由水头的部分水头，它与管网水 1Q<N(预设值)，则随机选择支配解放入外部归档 压呈线性关系。在满足管网约束的条件下，节点 集，直至Q,=W。而在RVSPEA2中，当外部归档 富余水头越小，管网水压就越低。节点富余水头 集Q,KW时，引入参考向量，根据非支配解与参考 总和越大，即管网水压总和越大，一方面反映了 向量的关系，有目标地选择支配解放入外部归档 资源浪费的情况，另一方面也代表了管网存在爆 集，其选择机制将在本节中详细介绍。 管的危险。另外，节点富余水头方差S反映了管 2.1.1自适应目标归一化 网中各节点富余水头的分布情况。节点富余水头 在实际的多目标优化问题中，各目标的范围 方差越大，说明了管网中各节点压力分布不均， 往往差别很大，其对优化结果影响巨大。因此， 亦存在爆管的危险。因此，节点富余水头总和与 为了解决目标范围不同的优化问题，RVSPEA2采 节点富余水头方差越小，表明管网系统可靠性越高。 用了一种简单的目标归一化方法，即对于第代 1.2约束条件 种群的第i个目标函数x),其归一化如式(11)： 除了优化目标之外，给水管网的优化还必须 田)=田)- (11) 满足下列约束条件。 得-用 1)节点流量连续性约束 式中：“和f册是第j代种群中第i个目标函数的 管网中每个节点应满足： 最大值和最小值。通过目标归一化，整个目标空 Ag+G=0 (7) 间中各目标范围被限定在「0,1]，而目标归一化是 式中：A为节点关系矩阵，g为与该节点相连的管 基于参考向量选择机制的基础。 段流量，G为节点流量。 2.12参考向量的生成 2)能量平衡约束 为了探索和开发整个搜索空间，RVSPEA2采 管网中闭合回路水头损失代数和为零，即 用了一种简单且有效的方法用于生成参考向量。 △Hk=0YleL 首先，在整个归一化目标空间生成K个参考点， & (8) 其中m为目标个数，K的计算公式如式(12)： 式中：△H为闭合回路I中管段k的水头损失， K=N+0.5 (12) L是管网中所有闭合回路。 式中：N为种群大小，代表向下取整。例如，当 3)节点流量连续性约束 m=3,K=3时，27个参考点均匀分布在整个归一化 管网中每个节点应满足 解空间，如图1所示。然后，从坐标原点出发至各 Hmin≤H:≤Haa (9) 参考点，形成27个向量。通过单位化每个向量， 式中：H,为节点i的水头，Hmim和Hax分别为节点 并删除其中的相同向量且只保留1个，最终形成 最小水头和最大水头。 J个参考向量，如图2所示。由于形成的参考向 4)能量平衡约束 量均匀地分布在归一化的解空间中，算法获得的 管网中每个管段直径应满足： 最优解也均匀分布在Pareto前沿上或接近 D∈{D1,D2,Dm} (10) Pareto前沿。 式中：D,为管段j的直径，D~Dm为标准管径。 2基于参考向量的强度帕累托进化 算法RVSPEA2 参考点 本文基于SPEA2算法，与基于支配和基于分 解的选择机制相结合，提出了一种基于参考向量 的强度帕累托进化算法(RVSPEA2),旨在进一步 提高算法解的多样性和收敛性，以解决给水管网 的多目标优化问题。 2.1基于参考向量的选择机制 在SPEA2算法的环境选择过程中，当前种群 中所有的非支配解被放入外部归档集中。如果外 图1当3，K=3时归一化空间中的27个参考点 Fig.1 Twenty-seven reference points on the normalized 部归档集Q,≥（预设值），则通过最小距离截断算 objective space for a three-objective problem with 法删除个体，直至引Q=;如果外部归档集 K=3所要求的最小自由水头的部分水头，它与管网水 压呈线性关系。在满足管网约束的条件下，节点 富余水头越小，管网水压就越低。节点富余水头 总和越大，即管网水压总和越大，一方面反映了 资源浪费的情况，另一方面也代表了管网存在爆 管的危险。另外，节点富余水头方差 S 反映了管 网中各节点富余水头的分布情况。节点富余水头 方差越大，说明了管网中各节点压力分布不均， 亦存在爆管的危险。因此，节点富余水头总和与 节点富余水头方差越小，表明管网系统可靠性越高。 1.2 约束条件 除了优化目标之外，给水管网的优化还必须 满足下列约束条件。 1) 节点流量连续性约束 管网中每个节点应满足： Ag+G = 0 (7) 式中：A 为节点关系矩阵，g 为与该节点相连的管 段流量，G 为节点流量。 2) 能量平衡约束 管网中闭合回路水头损失代数和为零，即 ∑ k∈Loopl ∆Hk = 0, ∀l ∈ L (8) 式中：ΔHk 为闭合回路 l 中管段 k 的水头损失， L 是管网中所有闭合回路。 3) 节点流量连续性约束 管网中每个节点应满足 Hmin ⩽ Hi ⩽ Hmax (9) 式中：Hi 为节点 i 的水头，Hmin 和 Hmax 分别为节点 最小水头和最大水头。 4) 能量平衡约束 管网中每个管段直径应满足： Dj ∈ {D1,D2,···,Dm} (10) 式中：Dj 为管段 j 的直径，D1~Dm 为标准管径。 2 基于参考向量的强度帕累托进化 算法 RVSPEA2 本文基于 SPEA2 算法，与基于支配和基于分 解的选择机制相结合，提出了一种基于参考向量 的强度帕累托进化算法 (RVSPEA2)，旨在进一步 提高算法解的多样性和收敛性，以解决给水管网 的多目标优化问题。 2.1 基于参考向量的选择机制 在 SPEA2 算法的环境选择过程中，当前种群 中所有的非支配解被放入外部归档集中。如果外 部归档集|Qt |≥N(预设值)，则通过最小距离截断算 法删除个体，直至 | Q t | = N ；如果外部归档集 |Qt |<N(预设值)，则随机选择支配解放入外部归档 集，直至|Qt |=N。而在 RVSPEA2 中，当外部归档 集|Qt |<N 时，引入参考向量，根据非支配解与参考 向量的关系，有目标地选择支配解放入外部归档 集，其选择机制将在本节中详细介绍。 2.1.1 自适应目标归一化 fi, j(x) 在实际的多目标优化问题中，各目标的范围 往往差别很大，其对优化结果影响巨大[15]。因此， 为了解决目标范围不同的优化问题，RVSPEA2 采 用了一种简单的目标归一化方法，即对于第 j 代 种群的第 i 个目标函数 ，其归一化如式 (11)： f ′ i, j (x) = fi, j(x)− f min i, j f max i, j − f min i, j (11) f max i, j f min 式中： 和 i, j 是第 j 代种群中第 i 个目标函数的 最大值和最小值。通过目标归一化，整个目标空 间中各目标范围被限定在 [0, 1]，而目标归一化是 基于参考向量选择机制的基础。 2.1.2 参考向量的生成 为了探索和开发整个搜索空间，RVSPEA2 采 用了一种简单且有效的方法用于生成参考向量。 首先，在整个归一化目标空间生成 K m 个参考点， 其中 m 为目标个数，K 的计算公式如式 (12)： K = ⌊√m N +0.5 ⌋ (12) 式中：N 为种群大小， ⌊·⌋ 代表向下取整。例如，当 m=3，K=3 时，27 个参考点均匀分布在整个归一化 解空间，如图 1 所示。然后，从坐标原点出发至各 参考点，形成 27 个向量。通过单位化每个向量， 并删除其中的相同向量且只保留 1 个，最终形成 J 个参考向量，如图 2 所示。由于形成的参考向 量均匀地分布在归一化的解空间中，算法获得的 最优解也均匀分布 在 Paret o 前沿上或接 近 Pareto 前沿。 1 1 f3 1 f1 f2 ◥㔯࣮ 图 1 当 m=3，K=3 时归一化空间中的 27 个参考点 Fig. 1 Twenty-seven reference points on the normalized objective space for a three-objective problem with K=3 ·120· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷