2数学准备-泛函极值问题 2数学准备-泛函极值问题 2数学准备-泛函极值问题 2:未给定终端时刻的泛函极值问题 -F'th emni(ncitldr 由横维条件可推出各种情况下的边界条件 wn+,k,'50-0 着始时。定，始状态国定或沿规定的边由线修：面时球白 10◆-电，1电，M,5,-0 1》给定始溶和自向许漏 贵整盟电动城定的仿动这关处优签州题你之为瑞定瑞 上式第二项分尾樱生 女时，邓=%-04自由 投系统性能指标J-广F种 可得边舞条件与精酸条什为% 于是有： 式中，是己知的。未给定，x哈定或末给定 +,r,h,'5t-0 -=0 x)▣x')+) 0·4'0+),-,+写) 得取极植得必要条件为 F,h,,门-0 J-4"FIro+go+ruh 我拉方湿 普-出箬=0 由手最优轨找四你御是最优时球，上式可写为： J取酸的要条为 0=0。 横酸条件 +F'h5r-0- 。》=6 -0=0。 无条作约束的泛动极值问中的边界条和横条列表 2数学准备-泛函极值问题 2.数学准备-泛函极值问题 州定 品餐 %=。 xu）-y 2》给定兰4和锋有的电0-C和置。 (3)择编国定，始端有约束。=州。 艘 ,, 装w-0 x(t)-x(0+cnn) 定 边界条件与横截条作为： 代入，)-Cy) 6图 f%-玉4 告…，-0 rg+e+e可+5= x(tt)=x $田 -0装，-0 =耶+tr川=q可+5月 )=a】 上式求编绿。开红=0 g+c4,+c》 告-0Fu小-0 器 ,)=。 {,=0F,小，-0 国宽 w-ai-ivabin 的来 ,l=Cr） e-om告-r儿，。 从以上讨论可以看出。不论边郭情况如南。泛两龄值影必溺满足成拉方程， 可得边界条作与桶截条作为： =0 只是在求解城拉方程时。对干不可边界棉况。应采用不同的边界柔作与精截 的来 到4▣6 条件 电定 偿wen-儿 66 2：未给定终端时刻的泛函极值问题 若始端时刻t0 给定，始端状态x(t0 )固定或沿规定的边界曲线移动；而终端时刻t f 自 由，终端状态x(tf)自由或沿规定的曲线移动，这类最优控制问题称之为未给定终 端时刻的泛函极值问题。 设系统性能指标: J F x t x t t dt f t t [ ( ), ( ), ] 0    式中t0 是已知的，t f 未给定，x(t0 )给定或未给定 ( ) ( ) ( ) * x t  x t   t ( ) ( ) ( ) * x t  x t    t ( ) * * f f f t  t   t J F x t t x t t t dt f f t t t [ ( ) ( ), ( ) ( ), ] ( ) * * * * 0          J取极值的必要条件为：    J  0  0。 2.数学准备-泛函极值问题 [ ( ) ] [ ( ), ( ), ] ( ) 0 * * * * * 0         f f f f t t dt F x t x t t t x F x F t f       上式第二项分部积分           * 0 * 0 * 0 ( ) ( ) f f f t t t t t t dt x F dt d t x F dt t x F       于是有： ( )[ ] ( ) [ ( ), ( ), ] ( ) 0 * * * * * 0 * 0            f f f f t t t t F x t x t t t x F dt t x F dt d x F t f f       得J(x)取极值得必要条件为   0     x F dt d x F 欧拉方程  横截条件 ( ) [ ( ), ( ), ] ( * ) 0 。 * * * * 0     f f f f t t F x t x t t t x F t f     J F x t t x t t t dt f f t t t [ ( ) ( ), ( ) ( ), ] ( ) * * * * 0          2.数学准备-泛函极值问题 由横截条件可推出各种情况下的边界条件： 1）给定始端和自由终端 X(t0 ) t0 tf t X* (t) X(tf ) tf* 此时，x(t0 )=x0 ,η(t0 )=0,ξ(tf)和η(tf)自由 可得边界条件与横截条件为： x(t0 )=x0 *  0    f x t t F  [ ( ), ( ), ] 0 * * * F x t f x t f t f  由于最优轨线x*(t)的t f 即是最优时刻t f*,上式可写为： 0 0 x(t )  x [ , , ]  0 f t F x x t   F x t f  0 。 ( ) [ ( ), ( ), ] ( ) 0 * * * * * 0     f f f f t t F x t x t t t x F t f     2.数学准备-泛函极值问题 2）给定始端x(t0 )=x0 和终端有约束x(tf)=C(tf) X(t0 ) t0 tf t X* (t) X(t) tf* C(t) ( ) ( ) ( ) * x t  x t   t 代入 ( ) ( ) f f x t  C t [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] * * * * * * * * * f f f f f f f f x t t C t t x t t t t              上式对ε求偏导，并令ε＝0 ( ) [ ( ) ( )] ( ) * * * * * f f f f  t C t x t  t    可得边界条件与横截条件为： 0 0 x(t )  x ( ) ( ) f f x t  C t [ ( ) ( )] ( , , )  0。            f t t F x x t x F c t x t     ( ) [ ( ), ( ), ] ( ) 0 * * * * * 0     f f f f t t F x t x t t t x F t f     2.数学准备-泛函极值问题 [ ( )] ( ) ( ) * * * * * f f f f x t  t x t t （3）终端x(tf)固定，始端有约束x(t0 )=Ψ(t0 ) X(tf ) t0 tf t X* (t) X(t) tf* 边界条件与横截条件为： Ψ(t) f f x(t )  x ( ) ( ) 0 0 x t  t {( )[ ( ) ( )] ( , , )} 0 0      t t x t F x x t x F      从以上讨论可以看出，不论边界情况如何，泛函极值都必须满足欧拉方程， 只是在求解欧拉方程时，对于不同边界情况，应采用不同的边界条件与横截 条件。 2.数学准备-泛函极值问题 0 0 x (t )  x f f x (t )  x f f x (t )  x 0 0     x t t F  0 0 x(t )  x   0   f x t t F  0 0     x t t F   0    f x t t F  0 0 x (t )  x  0    f x t t F  [ , , ]  0  f t t F x x t 0 0 x(t )  x ( ) ( ) f f x t  C t [ ( ) ( )]  0            f t t F x F c t x t    ( ) ( ) 0 0 x t   t f f x (t )  x [ ( ) ( )] 0 0            t  t t x t F x F     tf 固定 x(t0 )固定 x(tf)固定 x(t0 )自由 x(tf)固定 tf 固定 x(t0 )固定 x(tf)自由 x(t0 )自由 x(tf)自由 tf 自由 x(t0 )固定 x(tf )自由 x(t0 )固定 x(tf )约束 x(t0 )约束 x(tf )固定 无条件约束的泛函极值问题中的边界条件和横截条件列表