2数学准备-泛函极值问题 2数学准备-泛函极值问题 2数学准备-泛函极值问题 例2 求使性能密标 J-Pasgta h边界条作，)=C,》 i=a x(1)=a+b 为假小时的最优轨r间.设0=1.=C,C=2以t末给定. 与+1=2-4 解袋能长也号 ,= x F0-1+2 x0J=x《0)s=1,0=at*1 厥拉方程为： 横截条件 普-孟普=0 -m·儿 了=-+h=90 0- d「主 …时。 哥 1+F+…+ -0 +Fe· 解得(）1a=1 x()=1+1 2数学准备-向量泛函极值问题 2数学准备-向量泛雨极值问题 2.数学准备-有钓束条件的泛函极值问趣 在上面所时论约公式中，都假定x是1量。但是。所有会 对于始网时辣。和许鸡时封都给定时，横戴条骨 式幕可推广到峰变绿情况 置 赛精轻受装竿锅化.受 设性能密标J-广F:,i放 1.代数方程约来 x(t) 式中 设J-C4w 式中 )- 物来方程G(红，)-0。eRG。e:m<。 胸地W广泛通人-F,+2EGaw1。R“ 则玻拉方湿为菩一告瓷=0 对于末给定择端时辣时的横截条作为： 《1)给定始滨和择端有榨来： (2)给定锋和始有来 ◆地量函数任，意人)-Fx,)+2G(,) 式中 eo-r器儿 {二w-f 0. .=ra+sya+倍ya=0 分富职分 77 例2 求使性能指标 J x dt f t t   0 2 1 (1 ) 2  为极小时的最优轨线x*(t)。设x(0)=1，x(tf)=C(tf)，C(tf)=2-t, tf 未给定。 解 显然，所给出的性能指标就是x(t)的弧长，也就是说，要求从x(0)到直 线C(t)的弧长未最短。 t x(t) c(t) 2 x( 0) x*(t) x(t) 0 2 1 ( , , ) (1 ) 2 F x x t   x 欧拉方程为：   0     x F dt d x F  0 ( 1 ) 0 2 1 2            x x dt d   c 。 x x   2 1 (1 ) 2   2.数学准备-泛函极值问题 2 2 2 1 a c c x     x  a x (t )  at  b 这是一个x(t0 )固定，x(tf)约束情况下的极值问题。 由边界条件 x(t0 )=x（0）  b=1,x(t)=at+1 横截条件 [ ( ) ( )]  0            f t t F x F c t x t    (1 ) 0 (1 ) [ 1 ] 2 1 2 1 2                f t t x x x x     解得 x (t f )  1 a  1 x * (t )  t  1 。 t x(t) c(t) 2 x( 0) x*(t) x(t) 0 2.数学准备-泛函极值问题 由边界条件 ( ) ( ) f f x t  C t f f t 1  2  t 2 1 * t f  2 2 0 2 * * 2 1 2 1  (1 )   J x dt t x(t) c(t) 2 x(0) x*(t) x(t) 0 2.数学准备-泛函极值问题 在上面所讨论的公式中，都假定x是1维变量，但是，所有公 式都可推广到n维变量的情况 设性能指标 J F x x t dt f t t ( , , ) 0    式中              ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 x t x t x t x t n  则欧拉方程为   0     x F dt d x F  式中                              n x F x F x F x F  2 1 。                              n x F x F x F x F      2 1 2.数学准备-向量泛函极值问题 对于始端时刻t0 和终端时刻t f 都给定时，横截条件 ( ) 0 0    f t t T x F t   式中              ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 t t t t n     对于未给定终端时刻t f 时的横截条件为： （1）给定始端和终端有约束： [ ( ) ( )]  0            f t t T F x F c t x t    （2）给定终端和始端有约束 [ ( ) ( )] 0 。 0                    t  t T t x t F x F     2.数学准备-向量泛函极值问题 在实际问题中，对应泛函极值的最优轨线x*(t)通常不能任意选取，而受着 各种约束。求泛函在等式约束下的极值，称为条件泛函极值问题。 1.代数方程约束 设 J F x t x t t dt f t t [ ( ), ( ), ] 0    约束方程 G ( x , t )  0 n x  R m G  R m  n 构造增广泛函 J F x x t G x t dt T t t a f [ ( , , ) ( , )] 0      m   R 令纯量函数 L(x, x, ,t) F(x, x,t) G(x,t) T              0 0            J x x dt f t t T L T x L T x L  a      分部积分 2.数学准备-有约束条件的泛函极值问题