2数学准备-有约束条件的泛函授值向题 2数学准备-有约束条件的泛丽极值问题 2数学准备-有约束条件的泛函极值问题 上秘-4倍y+G'ah+了a=0 2:微分方程约来 3:积分方程约桌 最J-下，d 约来方型G-eGR”c为-常数 史锈登产。旅上试线之，度闲时满足下毯威拉方，的 设J一Fi陆 设2(t)▣G(x,,) 电￥件：G(x,,0-0.GcR- 则G(x,,)-2()-0 Z(t)-0 Zu,)-e 歌拉方程： 是-出是=0熹+(1-菩=0 设纯绿两数红，年石，)=F风红，名)+严Gx,主) 间 L=F+(G-2) 的来方根：G(￥，)。0 欧粒方程丝一圣各=0 拉方程普-兰兰=0一警-是鲁=0-0 横酸条作： (卧y6xk=0 ÷答+竖y-÷普-倍y1=0 的桌方程2)-G(3,,)Z0。》-0Zu,)-e 利用横截条件，根据始端状老心)阳许鸡状志x的不月情况，可以导 的束条情G(x,,)-0 横益务件 供Yk-0 出具修的迹界条件和横酸条件，其时论过程和结论与无的束条件的泛 保数条件 可昆，对干有的业条州的泛函经值问题。可采用妆麻朗日聚子法将其转化为无 两极物阿是和同。 (侍y6:=0s(s+年了作=0 密。在险条你议，业方微不多 3用变分法求解最优控制问题 3.用变分法求解最优控制问题 3.用变分法求解最优控制问题 设系统状志方程 一初始时刻及始端状态。哈定，给定，终端自由 可。受-r4,+受ra贸-0 构通增广泛稀 i-f八此，) 为使上式成立，应同时满足下列方程 能指标J一电，A]F油 .-,小'F,+V红4-d 表方8作鞋方同要 令哈击尔顿两数： 状志方程 毁 式中R。B解为纯绿雨最 H品么0-F+f4,a) 控制方程 0… 量优控刺闻愿就是寻求最优控制')及量优状态轨连” 则上-，M-%,20-2 机酸条丹 尝-好4心 使性能需标取餐值 岛尝学r+尝-0r-a-轴0 注意孙： 小 ga袖-中-文亚袖，-● 对于丙编圆定的情况下精截条件心一。，一 88         0 0 0            f f t t T x L t t T T x L dt d T x L x G  dt x   由于δx, δλ相互独立，为使上式成立，应同时满足下述欧拉方程，约 束方程和横截条件： 欧拉方程：   0     x L dt d x L       0       x F dt d T x G x F    约束方程： G ( x , t )  0 横截条件：   0 0    f t t T x L  x  利用横截条件，根据始端状态x(t0 )和终端状态x(tf)的不同情况，可以导 出具体的边界条件和横截条件，其讨论过程和结论与无约束条件的泛 函极值问题相同。 2.数学准备-有约束条件的泛函极值问题 2：微分方程约束 设 J F x x t dt f t t ( , , ) 0    约束条件：G ( x , x, t )  0 m G  R 设纯量函数 L(x, x, ,t) F(x, x,t) G(x, x,t) T        欧拉方程   0     x L dt d x L           0           T x G dt d x F dt d T x G x F   约束条件 G ( x , x , t )  0 横截条件   0 0    f t t T x L  x     0 0       f t t T x T G x F   x   2.数学准备-有约束条件的泛函极值问题 3：积分方程约束 设 J F x x t dt f t t ( , , ) 0    约束方程 G x x t dt c f t t   ( , , ) 0  m G  R c为一常数 设 Z (t ) G ( x , x, t )   则 G ( x , x, t)  Z (t)  0 ( ) 0 Z t 0  Z t c ( f )  令        z x x        z x x    L F (G Z) T      欧拉方程   0     x L dt d x L     0     x L dt d x L    0  约束方程 Z (t ) G ( x , x, t )   Z (t 0 )  0 Z t c ( f )  横截条件   0 0    f t t T x L  x  可见，对于有约束条件的泛函极值问题，可采用拉格朗日乘子法将其转化为无 约束条件的泛函极值问题进行求解。在不同边界条件情况下，欧拉方程不变， 只是边界条件及横截条件不同。 2.数学准备-有约束条件的泛函极值问题 设系统状态方程: x  f (x,u,t) 性能指标:    f t t f f J x t t F x u t dt 0 [ ( ), ] ( , , ) 式中 n p x  R u  R  和F为纯量函数 最优控制问题就是寻求最优控制 ( ) * u t 及最优状态轨迹 ( ) * x t 使性能指标J取极值. 3.用变分法求解最优控制问题 一.初始时刻 及始端状态 给定 t0 x(t0 ) , t f给定,终端自由 构造增广泛函      f t t T a f f J x t t F x u t f x u t x dt 0 [ ( ), ] { ( , , )  [ ( , , ) ]} 令哈密尔顿函数: H (x,u, ,t) F(x,u,t) f (x,u,t) T     则     f t t T J a x t f t f H x u t x dt 0 [ ( ), ] [ ( , ,, )  ] ( ) [( ) ( ) ( ) ] 0 0                  x x dt H u u H x x H x x J T T T T T t t t t T a f f            注意到:     f f f t t t T t T t t T xdt x xdt 0 0 0          x (t 0 )  0 3.用变分法求解最优控制问题 ( ) [( ) ( ) ( ) ] 0 0                   x dt H u u H x x H x a x J T T T t t t t T f f            为使上式成立,应同时满足下列方程: 欧拉方程(伴随方程) x H       状态方程     H x 控制方程  0   u H 横截条件 f f f t t t T x t x t x x x               ( ) ( ) ( ) 0 0 0 对于两端固定的情况下横截条件 f f x(t )  x , x(t )  x 0 0 3.用变分法求解最优控制问题