3.用变分法求解最优控制问题 3用变分法求解最优控制问题 3用变分法求解最优控制问题 例1 授系统状志方程为 主()=-0+) i-x-2 跗 二.初始时刻1及始端状态4)给定，1y给定终端约束 0的垃界条作为0-l北，-0 克55-w0+ 设许瑞的来方程为，1-，月-0MGR 求最优校制)使下列作伦密标 -6E百5a0o, 构造州广泛： J'+恤 人.-，月+PM,月+了红此+V红，k-d 为最小 由边舞保作可0-1中，》-0 解作哈密尔顺雨数日-++水-+ 0-E:业点w5 =+M,+广H,-d 聚拉方根-翌 -4 式神E时 无▣-x+无 修制 控制方程 u+人m0 2a.e,E465 =0 1 状志方程 ,-x+■ 5-eBEw 取极植的必要条件是 3.用变分法求解最优控制问题 3.用变分法求解最优控制问题 3.用变分法求解最优控制问题 正剩方程 状态方程 三初始时刻。及始端状态心，)给定，1，自由，终端约束 用变分法求解最优解的必要条件： 设体端的来为，1-0 藏拉方型 胸造增广泛两J.-可电，M,小+电，，小+1Hx,2- 性能指标J-e1u,h,1小F,恤 控制方程 熙… 园。一0得取极慎的冬要条件本 H,,0-F《a,,0+21,0 正则方程 边条和精截条件化。)-，，月-0 拉防程要0 系埃方程-八红，， ,-喂尝 盛-，w小0 约来条件4-，M,h,1-0 ,尝尝 五到方81 g 尝… 控刺方程 … 99 例 1 设系统状态方程为 x（t） x(t)  u(t) x(t) 的边界条件为 x(0)  1, x(t f )  0 求最优控制 u(t) 使下列性能指标    f t J x u dt 0 2 2 ( ) 2 1 为最小 解: 作哈密尔顿函数 ( ) ( ) 2 1 2 2 H  x  u   x  u 欧拉方程    x   控制方程  0,   0   u  u H 状态方程 x x u H x        ,   x H       3.用变分法求解最优控制问题             x x x   ( ) (0) 2 2 1 [( 2 1) ( 2 1) ] (0) 2 2 1 2 2 2 2  t t t t x   e   e x  e  e   [( 2 1) ( 2 1) ] (0) 2 2 1 ( ) (0) 2 2 1 2 2 2 2   t t t t  e  e x   e   e   消除u 由边界条件 x(0)  1, x(t f )  0 f f f f t t t t e e e e 2 2 2 2 ( 2 1) ( 2 1) (0)         得最优控制 [( 2 1) ( 2 1) ]} ( 2 1) ( 2 1) { 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 t t t t t t t t e e e e e e e e u f f f f                                         x x   1 1 1 1   3.用变分法求解最优控制问题 二. 初始时刻 及始端状态 给定 0 , 给定,终端约束. t ( ) 0 x t f t 设终端约束方程为 M[x(t f ),t f ]  M[x(t f )]  0 q M  R 构造增广泛函:       f t t T f T J a x t f v M x t F x u t f x u t x dt 0 [ ( )] [ ( )] { ( , , )  [ ( , , ) ]}      f t t T f T f x t v M x t H x u t x dt 0 [ ( )] [ ( )] { ( , ,, )  ]} 式中 q v R 0 [ ( ) ] [( ) ( ) ( ) ] 0                      x dt H u u H x x H v x x M x J T T T t t t t T T a f f           J取极值的必要条件是 3.用变分法求解最优控制问题 正则方程             欧拉方程 状态方程 x H H x     控制方程  0   u H 边界条件和横截条件 ( ) , 0 0 x t  x [ ( )]  0 f M x t f t t T f v x M x t       ( )  [ ( ) ]   3.用变分法求解最优控制问题 三. 初始时刻 及始端状态 给定 t0 x(t0 ) , t f 自由,终端约束 设终端约束为 M[x(t f ),t f ]  0 构造增广泛函      f t t T f f T J a x t f t f v M x t t H x u t x dt 0 [ ( ), ] [ ( ), ] [ ( , ,, )  ]  0 a J 得J取极值的必要条件为: 正则方程               x H H x     控制方程  0   u H 边界条件和横截条件 ( ) , 0 0 x t  x M[x(t f ),t f ]  0 f t t T f v x M x t       ( )  [ ( ) ]   [ ]  0        f t t T t M v t H  3.用变分法求解最优控制问题 用变分法求解最优解的必要条件: 性能指标    f t t J x t f t f F x u t dt 0  [ ( ), ] ( , , ) H (x,u, ,t) F ( x,u,t) f ( x,u,t) T     系统方程 x  f (x,u,t) 约束条件 ( ) , 0 0 x t  x [ ( ), ]  0 f f M x t t 正则方程    H x x H      控制方程  0   u H 3.用变分法求解最优控制问题