条作边界条料和横戴条件 终端因定 3.用变分法求解最优控制问题 3.用变分法求解最优控制问题 终端自由 ,”品 例2已知系统找志方程为-0，o-】 0)-4eh6e 给定 终端钓束 g川-0，-尝· 求最优拉制：')使怪能指标了一心产(2+产边为最小 解本题为，给定，裤漏自由的销况 -i---- 终端因定 ”哥 边界条外与横鼓条料 H-e22◆2+2出 小山小”部0-。 终端自由 6》-x , 等 求得 i-v 5-1 t E+e6 i-22 6"不5-平“5-+w 自由 ,= ,,1-0 终端钓束 西 拉防程兴。 242a2-0→i-22w+i 最得级执拉制0广不E-。 -2x0--22u+w2 --l.7957ea-00591ena] 消至+2近-x-0 3用变分法求解最优控制问题 3.用变分法求解最优控制问题 3.用变分法求解最优控制问题 例3 慢不统的状老方程为 垃界采桥和横醛条科 H-2++4-+ -名 正防程”股名山。+ 0)-0+0.56-6+5-0 24-+4 40-e-0-*6 一-3卡4 -4-0.5名46-0 10明-0-0 与4-e-0-5 02-a-f 性能指标一2-开+24-油 BM 0-2-f-2乎 择端的来条件(2)+5红2-15 4m6 M-，2+524-15-0 4,i', M-24s,(4-15=0 认求使J一m的量优控制 控制方程 尝0+40小 2(2)-2-54-4 解本题为一始定锋端受均来的敏忧解例圆 20 U 2)--4:)+g u"+0 …++5+时 8-2+- 40-60-0 2(2)=x:(2)-2+5n°ce2+9, 2以-4吗+4 M-42)+52)-15=0 40ee-4+ 代队2.x2) 1010 条件边界条件和横截条件 t f 给定 终端固定 终端自由 终端约束 t f 自由 终端固定 终端自由 终端约束 ( ) , 0 0 x t  x f f f M[x(t )]  0  x(t )  x 0 0 x(t )  x ( ) ( ) f f x t t      0 0 x(t )  x 0 0 x(t )  x 0 0 x(t )  x 0 0 x(t )  x [ ( )]  0 f M x t f t T f v x M x (t ) [ ( ) ]         f f x(t )  x f f t H t      ( ) ( ) ( ) f f x t t      f f t H t      ( ) M[x(t f ),t f ]  0 f t t T f v x M x t       ( )  [ ( ) ]   f t t T f t M v t H t       ( )  [ ]  例2 已知系统状态方程为 x  u(t), x(0)  1 求最优控制 ( ) * u t 使性能指标    1 0 2 2 2 J e (x u )dt t 为最小 解 本题为 f t 给定，终端自由的情况 H e x u u t  (  )   2 2 2 正则方程:    H x x H      控制方程  0   u H 得 x  u t xe2   2  t t ue u u e 2 2 2 0 2(2 )         t t xe u u e 2 2  2  2(2  ) 消除u x 2x  x  0 3.用变分法求解最优控制问题 t t x t c e c e (1 2) 2 (1 2) 1 ( )       t t u x c e c e (1 2 ) 2 (1 2 ) 1 (1 2) (1 2)            边界条件与横截条件 0 0 x(t )  x (0) 1, (1) 0 ( ) ( )          x x t t f f 求得 2 2 1 ( 2 1) ( 2 1) 2 1       e c 2 2 2 2 2 ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1)        e e c 最后得最优控制 [ ] ( 2 1) ( 2 1) 1 ( ) (1 2) 2 2 (1 2 ) 2 2 * t t e e e e u t              1.7957[ 0.0591 ] 2.4142 t 0.4142 t   e  e  3.用变分法求解最优控制问题 例3 设系统的状态方程为 1 2 x  x x  x  u 2 2  x1 (0)  0 x2 (0)  0 性能指标       2 0 2 2 2 2 1 2 1 [ (2) 2] 2 1 [ (2) 5] 2 1 J x x u dt 终端约束条件 x1 (2)  5x2 (2)  15 试求使 J  min 的最优控制 解 本题为 t f  2给定 终端受约束的 最优解问题 ( ) 2 1 1 2 2 2 2 H  u   x   x  u u x u 1 2 2 2 2 ( ) 2 1        2 2 2 1 [ (2) 2] 2 1 [ (2) 5] 2 1   x   x  M  x1 (2)  5x2 (2) 15  0 3.用变分法求解最优控制问题 正则方程 x x x x u H x         1 2 2 2   ,   1 1 1 1 1 , 0, (t) c x H x H                   2 1 2 2 1 2 2 , (t) c e c x H t              控制方程 2 2 1 0 u 0 u(t) c e c u H t            x 2 (t )   x 2 (t )  u 2 3 2 1 2 1 x (t) c e c e c t t     1 3 2 1 4 2 1 x (t) c e c e c t c t t       ( ) 2 1 1 2 2 2 2 H  u   x   x  u u x u 1 2 2 2 2 ( ) 2 1        2 2 2 1 [ (2) 2] 2 1 [ (2) 5] 2 1   x   x  M  x1 (2)  5x2 (2) 15  0 3.用变分法求解最优控制问题 边界条件和横截条件 (0) 0, 0.5 0 x    c2  c3  c4   c1  0.5c2  c3  0 ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) 1 1 1 f T f f f v t x t M x t t         1 1 1  (2)  x (2)  5  v  c ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) 2 2 2 f T f f f v t x t M x t t         1 2 2 2 2  ( 2 )  x ( 2 )  2  5 v  c e  c 代入 (2), 1 x ( 2 ) 2 x 2 3 2 1 2 1 x (t) c e c e c t t     1 3 2 1 4 2 1 x (t) c e c e c t c t t       2 2 2 1 [ (2) 2] 2 1 [ (2) 5] 2 1   x   x  M  x1 (2)  5x2 (2) 15  0 3.用变分法求解最优控制问题