3.用变分法求解最优控制问题 3.用变分法求解最优控制问题 3.用变分法求解最优控制问题 例4投系统状志方程为立一“ -0.502-g1+6,-0 垃界条作0-1,0)-0 ,一器 -4-05644-0 这确定鼓优控制)使与+2油为极小 -7%-32g+4e,+6,-15←x29+52白-15 小4，- 解这是与白由择端国定的最优解问题 -36-0.5g%-e4c.+￥-5 ,小-u,-1→，-E Hn34a -26-1506e9g,+5折-2 a-2-5。--5 解得6-0.7乃 0.3 兽a4 --c,)+c:--i+1 m'()--ce'+c1=0.13e'+0.73 物制方程-0++及-0→d -号 +的 皮用边界条骨 w'--E 0-+马-1 小号 3.用变分法求解最优控制问题 3.用变分法求解最优控制问题 3.用变分法求解最优控制问题 例5授拉制对象方程为主一址 3()-cre'cse- 择端时刻1，自由，将鸡型定，)-一 i(1)=cue'-cze-w 于是量优轨线和最优控制左 求")和▣'()使得J-广任，恤为假水 由边舞条特和横截条件0)=马 2--2m 解本题，自由，路溶国定 ,尝 当。<4'u)-,e“'()-"u-x,e2 H-2++w=x2+w2+2m u,+2u,+2,,》-0 器 x2u)=m0,)=e, 当>4x')-ew')-')--e” [,)+,,)-,月-0 .明→-2 99-0 由，》一G可求地降端时魏 0-048a i-t 9,*4- 64-0 li-m→应-i+i-i-0 收4=x6G=0成9=09= 1111                                        2 1.5 5 2 3 0.5 5 7 3 4 15 (2) 5 (2) 15 0.5 0 0.5 0 3 2 2 2 1 3 4 2 2 2 1 3 4 1 2 2 2 2 1 1 2 3 2 3 4 c e c e c v c e c e c c v c e c e c c x x c c c c c c 解得 0.73 c1   0.13 c2   ( ) 0 . 13 0 .73 2 1 *      t t u t c e c e 3.用变分法求解最优控制问题 例 4 设系统状态方程为 x  u 边界条件 x(0)  1, x(t f )  0 试确定最优控制 ( ) * u t 使    f t J t f u dt 0 2 2 1 为极小 解 这是 f t 自由,终端固定的最优解问题 H  u  u 2 2 1 正则方程 x u H x         1 0, c x H            控制方程           u u u H 0 0 应用边界条件 (0) 1 1 x   c2  1 2 x  c t  c 3.用变分法求解最优控制问题 f f t H t      ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 u t f   t f u t f   ( ) ( ) 1 ( ) 2 2 1 2 2  t f   t f     t f  c1    2,u   2 x   c 1 (t )  c 2   2 t  1 2 2 x(t f )  0,t f  ( ) 2 * u t   2 2 t f *  3.用变分法求解最优控制问题 例 5 设控制对象方程为 x  u 0 x(0)  x 终端时刻 f t 自由,终端固定 0 x(t ) c f  求 ( ) * x t 和 ( ) * u t 使得    f t J x x dt 0 2 2 (  ) 为极小. 解 本题 f t 自由,终端固定 H  x  x  u  x  u  u 2 2 2 2  x u H x         x x H   2         u u u H  0  2   0   2     u  x           x u u x x x 0 x u       3.用变分法求解最优控制问题 t t x t c e c e   1  2 ( ) x t c e c e u t t     1 2  ( ) 由边界条件和横截条件 0 x(0)  x f f t t H (t ) [ ]      ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 x t f  u t f   t f u t f  ( ) ( ) ( ) 2 2 2 f f f x t  u t  x t [ ( )  ( )][ ( )  ( )]  0 f f f f x t x t x t x t 0 c1c2         0 1 2 1 2 0 c c c c x 故 1 0 c  x 0 c2  或 0 c1  2 0 c  x   2u 3.用变分法求解最优控制问题 于是最优轨线和最优控制为: 当 0 0 x  c t x t x e0 * ( )  t u t x t x e0 * * ( )   ( )  当 0 0 x  c t x t x e   0 * ( ) t u t x t x e     0 * * ( )  ( ) 0 x(t ) c 由 可求出终端时刻 f  t f* 3.用变分法求解最优控制问题