3用变分法求解最优控制问题 3.用变分法求解最优控制问题 3.用变分法求解最优控制问题 例6强场控制的直流电内机如图所示 代入给定边界条骨 最学根型 这是给定，心圆定的最优控刺问题 H-,2+2+4名-，2+码+ 9-0 -6 正则方程 片小 4 4尝46 则最优控制为 - 边界条补 尝n 年 [图 防园二00w- 最优性能霜标了广一广动一卫安 件院器标」-上出 代入状志方程料 n-ju,u-Ter-tc446 数代转线 年要 卖整9修金量具有限本时的信制入 0-j恤--e4e 4牛 4极小值原理及其应用 4.极小值原理及其应用-洁时阿系线极小原四 4.极小值原理及其应用-连时阿系战：即要 用古典变分法解数代拉制倒题时，履定用不受知机从百得到量优控刺端足 设系统状志方程友 。 令-04》-0 )=flx,r(u,小 z'们-505-.明 断上在工型问圆中，控制瘦绿总有一定的网制 初始条朴气)-©，R”,世≤D“”,口为有界闭集不等式约束为 且2f=G0MwM】z-0 设控刺使量藏限制在某一闭集内型©口 可八八1之0，G为m喻连续可微的向单函数，■金P 于是，系统方程灯 生▣自xd, u0满足Gw(,】≥0 系统风儿转体到蜂编状老山。1末给定，锋鸡状志x心满足等式约来 2-0A 满足限刺条件的u将为客许控制，由千心U不能是任意的， M,h4,=0 到6-4=4)-0国=0 型.0的条件己不存在 M知指连坡可微向量南数，9三m 锋病时球末给定锋端的束，从，=0 菱求确定最代拉制山·应使性能指标 性能指标：了-[x,h,】+化F工以，]恤 最优旋制钢恩铁是要寻找最代容许控刺的使)为假小 J-1,k,小+必Flsth oun%小恤 为极小 1212 例6 磁场控制的直流电动机如图所示 M I const a  Rf Uf Lf 数学模型 f x x u              1 0 0 0 0 1  x k y f         0   边界条件              (0) 0 (0) (0) 0 2 1  x x x        0 0 ( )1 x t 性能指标   1 0 2 t J u f dt 1 t 给定 试求在t1 时间内由x(0)转移到x(t1 ),并使控制能量具有极小值时的控制输入(励磁 电压)uf* ,最优性能指标J*和最优轨线x(t)*, 3.用变分法求解最优控制问题 解: 这是t f 给定,x(tf) 固定的最优控制问题 f f f H u x x u x u 1 2 2 2 1 1 2 2 2             正则方程 1 1 1 1 0 c x H           1 2 1 2 2 2 c t c x H               控制方程  0   u f H 2 1 2 2 1 2 1 2u 0 u c t c f     f   代入状态方程得 2 3 2 2 1 2 1 4 1 x (t) u (t)dt c t c t c  f     3 4 2 2 3 1 2 1 4 1 12 1 x (t)  x (t)dt  c t  c t  c t  c  3.用变分法求解最优控制问题 代入给定边界条件 3 1 0 1 24 t c   2 12 1 0 2 t c   0 c3  4 0 c   则最优控制为 1 2 * 2 1 2 1 u f  c t  c 2 1 0 3 1 * 0 12 6 t t t u f     最优性能指标    1 0 3 1 2 0 * t * 2 12 f t J u dt  最优轨线 t t t t x 2 1 2 0 3 1 0 2 * 6  6    0 2 2 1 3 0 3 1 0 1 * 2 3      t  t t t x 3.用变分法求解最优控制问题 用古典变分法解最优控制问题时,假定u(t)不受限制,从而得到最优控制应满足  0   u H 实际上在工程问题中,控制变量总有一定的限制. 设控制变量被限制在某一闭集内 u  即u(t)满足 G[ x(t), u (t), t]  0 满足限制条件的u(t)称为容许控制，由于δu不能是任意的,  0   u H 的条件已不存在 4.极小值原理及其应用 设系统状态方程为: x(t)  f [ x(t), u(t), t] 初始条件 ( ) (0), , , 0 n p x t  x x  R u  R Ω为有界闭集,不等式约束为 G[ x(t), u(t), t]  0, G为m维连续可微的向量函数, m  p 系统从x0 转移到终端状态x(tf)，t f 未给定,终端状态x(tf)满足等式约束 M[x(t f ),t f ]  0 M为q 维连续可微向量函数, q  n 性能指标:    f t t f f J x t t F x t u t t dt 0  [ ( ), ] [ ( ), ( ), ] 最优控制问题就是要寻找最优容许控制u(t)使J为极小 4.极小值原理及其应用-连续时间系统极小值原理 令 ( ) ( ) ( ) 0  t  u t  t0  [ ( )] [ ( ), ( ), ] ( ) 0 ( ) [ ( ), ( ), ( )] 0 2 1 2    Z t G x t u t t Z t Z t z t z t z t m T   且 于是,系统方程为: ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( , , ) ( , , ) 0 0 0 0 2      x t x z t t Z G x t x f x t        终端时刻t f 未给定,终端约束 M[x(t f ),t f ]  0 要求确定最优控制 u  使性能指标    f t t J x t f t f F x t t t dt 0  [ ( ), ] [ ( ),  ( ), ] 为极小 4.极小值原理及其应用-连续时间系统极小值原理