4极小值原理及其应用-志时胸系依板小慎单 4.极小值原理及其应用-连时侧系续极小做即园 4.极小值原理及其应用-志时啊系统帐小信写 横截条作： 引入拉修明日聚子向绿人及广习出增广性能指标泛病 对山，取一阶变分得 88 J.-(+M+(FR((d -0品兴 8中 -+ 、0 +'1f(x,,)-1+「G(x,G,)-2B 令哈密面领南数为 Lng 器-曾-层器-油 d ap 0,-0 8,-0 把种的表达式代入歌检方程： 酸条： H(3a,2,0-F红，a,0+'fa,0 -(Gr 垫格明日纯量函数 令)。=0可得增广性能编标泛两取极值的必委条件为 d 04 a0-2-兴1 (x,元，0，，2，「，)=H(x,d,乙，0-+r'Gx,0,)-2】 教数方程 h86 ,-ee 尝 由成技方程和精酸条包，数优赖线 士治。曾。 0-0 Bp8中 8电a小 J.-81x%,h,+MIx,h,1+Φ(3，，，，2，「，迪 4.极小值原理及其应用-时铜系统极萄即四 4.极小值原理及其应用-连时啊系统极小能原理 4.极小值原理及其应用-连时阿系战能小即 持站线普然费盛程损棉餐器备：为代性优猫标为吸小还丝美精足茶东 定理：（极小值原理） E-r't) -oir- 由器0 (r0 设系线的状志方程为 在- t(t)=fr(ru(r).n Ou 2。二。-一三-之0 上式表明，在有不等式来的情况下滑最优转 00·0不再立 BH 等装有前一美在的9吸生品品属体空中省有手开程度满起不 可x,M)120 E=(r,,,,,r",)+xt -{(x,,,°，，Γ，)+} 在择滨时末知的情况下为使状志自初志利气)=马转修到满足边界条件 =Hx,x,d,-H(x,,,020 (U,A,】一0的择志，并使性能编标 即： H(x,2,,02H(x,2',u,) J-ofx(hil+F[x(r)u(tnd 上式表明，和量代靴线两H相时装优拉鳞们取地对楼小植这是极小植原理的一 个重委结晚. 达极小幢.给密面顿两最为H一F(任，弘，)+2八工，品) 1313 引入拉格朗日乘子向量λ及Γ,写出增广性能指标泛函 f x t x G x t Z dt J x t t v M x t t F x t t t T T t t f f T a f f f [ ( , , ) ] [ ( , , ) ]} [ ( ), ] [ ( ), ] { [ ( ), ( ), ] 2 0                    令哈密而顿函数为 H ( x, , ,t) F (x, ,t) f ( x, ,t) T        拉格朗日纯量函数 ( , , , , , , ) ( , , , ) [ ( , , ) ] 2 x x z t H x t x G x t Z T T                  则       f t t f f T a f f J x t t v M x t t x x z t dt 0  [ ( ), ] [ ( ), ] ( , , , ,  , , ) 4.极小值原理及其应用-连续时间系统极小值原理 对Jα 取一阶变分得                              * 0 * * [( ) ( ) ( ) ] [( ) ] ( ) [ ] * f f f t t T T f t t T T f t t T a z dt dt z d dt d x dt x d x x t x M v x t t M v t J             令  J a  0 可得增广性能指标泛函取极值的必要条件为 欧拉方程  0        dt x d x  0  0        dt z d dt d   4.极小值原理及其应用-连续时间系统极小值原理 横截条件: 0 0 [ ( ) ] 0 [ ( ) ] 0 * * * *                                  f f f f t t t t t t T t t T T z x v x M x t M v t x x          把Φ的表达式代入欧拉方程: 0 0 ( )                 dt z d dt d x G x H T      横截条件: * * ( ) [ ( ) ] ( ) [ ] * * f f t t T f t t T f v x M x t t M v t H t                   由欧拉方程和横截条件知,最优轨线 0 0 * *                   z  z 4.极小值原理及其应用-连续时间系统极小值原理 以上为使性能指标Jα 取极值的必要条件,为使性能指标为极小,还必须满足维尔斯 特拉斯函数沿最优轨线非负的条件,即: ( )( ) ( )( ) 0 ( , , , , , , ) ( ) ( ) ( , , , , , , ) * * * * * * * * * * * * * *                    z z z x x x x x z t E x x z t T                       或: : ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 0 { ( , , , , , , ) } ( , , , , , , ) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * H x u t H x u t H x t H x t x x z t x E x x z t x T                         即           上式表明,沿最优轨线函数H相对最优控制u*(t)取绝对极小值,这是极小值原理的一 个重要结论. 0 0 -λ* 4.极小值原理及其应用-连续时间系统极小值原理                     T T u G u H H G ( ) 0 ( ) 0    由 上式表明,在有不等式约束的情况下,沿最优轨线  0   u H 不再成立 4.极小值原理及其应用-连续时间系统极小值原理 定理:(极小值原理) 设系统的状态方程为 x(t)  f [ x(t), u(t), t] 控制u(t)是有第一类间断点的分段连续函数,属于p维空间中的有界闭集Ω,满足不 等式约束: G[x(t),u(t),t]  0 在终端时刻t f 未知的情况下,为使状态自初态 0 0 x(t )  x 转移到满足边界条件 [ ( ), ]  0 f f M x t t 的终态,并使性能指标    f t t f f J x t t F x t u t t dt 0  [ ( ), ] [ ( ), ( ), ] 达极小值.设哈密而顿函数为 H F (x,u,t) f (x,u,t) T    4.极小值原理及其应用-连续时间系统极小值原理