Vol.19 No.4 徐科等：小波变换在信号滤波中的应用 ·383· 由式(2)可以看出：小波变换的实质就是将函数f()表示成为满足一定条件的基本小波 函数()经平移和收缩的线性组合.当j增大时，平，()的时域窗变宽，这就意味着时域分辨 率降低；而频域窗变窄，意味着频率分辨率提高.因此，小波变换有自动调整信号时域分辨率 和频域分辨率的功能.其调整的方法是：高频部分采用高的时域分辨率，低的频域分辨率；而 低频部分则采用高的频域分辨率，低的时域分辨率.这符合高频和低频分析的需要，因此小波 分析非常适用于信号处理. 小波分析的一个重要途径是多尺度分析理论，多尺度分析是一种对信号的空间分解的 方法.在多尺度分析的基础上，产生了小波分解的Mallat算法).这一算法在小波分析中的地 位相当于快速傅里叶变换(FFT)在信号频域分析中的地位，它可以表述为： =f (k=0,1,2,…,N-1) (3) 4=8,- k<0,c=c°4 k≥Ng=CN-A-I 其中，f是信号的时域波形，N是采样点数；h(),g(n)是一对共镜像滤波器(QMF)H和G的 脉冲响应，表示分解的层数 运用Mallat算法，可以将信号一层层进行分解，每I层分解的结果是将上次分解得到的 低频信号分解成低频和高频两部分.若分解前信号的频带范围是0~fmx,则分解后得到的低 频信号频带范围为0~fmx,高频信号频带范围为fmx/2~厂mx.每1次分解后的数据量减半， 因此分解后得到的低频成分和高频成分的时域分辨率比分解前信号降低一半， 经Mallat算法分解之后，信号还可以用重构算法进行重构，重构算法表述如下： 4=∑c*"h-n+d*'g-n(k=0,1,2,…,N-1) (4) k<0,c0=c°k k≥0，c是=c3N-k-1 重构算法实质上是分解算法的逆过程，经每1层重构之后，信号的数据量增加1倍，因此 可以提高信号的时域分辨率.实践证明，小波分析具有很强的信号重构能力，它几乎可以完全 重构出原来信号 由图1可以看出，Mallat算法对信号进行多频带分解的过程中，没有对高频部分再进行 分解，因此不能提高高频部分的频域分辨率.而小波包分解可以对信号在全部的分析频带内 进行正交分解)，不仅可以提高低频部分的频域分辨率，而且可以提高高频部分的频域分辨 率.小波包分解也采用Mallat算法，它对上次分解之后的低频信号和高频信号同时进行再分 解，分解的过程如图2所示， G c Hco Gco Hco Gco HHco HHco GHco GGa HGca 中中牛 g 图1小波分解示意图 图2小波包分解示意图V lo . 1 No 9 . : 徐科等 小 波变换在 信号滤波 中的应用 4 · 8 3 3 · 2 ) 由式 可 以看 出 ( : ) 小 波 变换 的实 质就是 将 函 数 f t 表示 成 为满足 一定 条件 的基本 小波 ( ) 函 数 了 t 经平 移和 收缩 的 线性 组合 ( · 当 J 增 大 时 , 戮 , 、 (t) 的 时域 窗变 宽 , 这 就意 味着 时域 分辨 率 降低 ; 而频 域 窗 变窄 , 意 味着 频 率分 辨 率提 高 . 因 此 , 小 波 变换 有 自动 调整 信号 时 域分 辨率 和频 域分辨 率的功 能 . 其调 整 的方 法 是 : 高频 部分 采 用高 的 时域 分 辨率 , 低 的频 域分 辨 率 ; 而 低 频 部分 则采 用高 的频 域分 辨率 , 低 的 时域 分辨 率 . 这符 合高 频和 低频 分析 的需要 , 因此 小波 分 析 非常 适用 于信 号处理 . 小 波分 析 的一 个重要 途 径是 多尺 度分 析理 论〔’ 〕 , 多 尺度 分析 是 一种 对信 号 的空 间分 解 的 方法 . 在 多尺 度 分析 的基 础上 , 产生 了 小波分 解 的 M al at 算 法〔’ ] . 这 一算 法在 小波 分析 中的地 位 相 当于快速傅 里 叶变 换 ( F F T ) 在信 号频域 分析 中的地位 , 它 可 以 表述 为 : 理 二 人 } (无 一 ` , N 一 ” (3 ) 、 < o , 。 : 一 e 几 、 k : 从 。 : 一 c { N 一 、 一 , 其 中诉 是信 号 的时域波 形 , N 是 采样 点数 ; h ( n) , g ( 。 )是 一 对共扼 镜像 滤波 器 ( Q M )F H 和 G 的 脉冲响应 3[] , j 表 示分 解 的层 数 . 运 用 M al at 算 法 , 可 以 将信 号 一层 层进 行 分解 , 每 1 层 分解 的结果 是将 上 次分 解得 到 的 低 频信号分解 成低 频 和高 频两部 分 . 若分解 前 信号 的频 带范 围是 0 ~f ’ m a x , 则 分解 后得 到 的低 频 信号 频带范 围为 O e 了 . m ax , 高 频信 号频带范 围为产m a 、 / 2 一 几 a 、 . 每 1 次分 解后 的数据 量减半 , 因此分解 后得 到的低 频成 分和 高频成 分 的时域分 辨 率比分 解前 信号降低 一半 . 经 M al at 算 法分解 之 后 , 信号 还可 以 用 重构算 法进 行重 构 , 重构算 法 表述 如下 : 喊 一 耳代 + ’ h 、 一 2 。 + 粤武 ` ’ g 、 一 2 。 (k 一 0 , ’ , “ , 一 N 一 ’ ) ( 4 ) 、 < o , e : 一 e -o 、 k 二 0 , c : 一 c : 、 一 、 一 ; 重 构算 法 实质 上是分 解算 法 的逆过 程 , 经 每 1 层重 构之 后 , 信号 的数 据量 增加 l 倍 , 因此 可 以 提 高信 号 的时域 分辨 率 . 实践证 明 , 小 波分 析具 有很 强 的信 号重 构能 力 , 它 几乎 可 以 完全 重构 出原来信号 . 由图 1 可 以 看 出 , M al at 算 法 对信 号 进行 多 频带 分 解 的过 程 中 , 没 有 对高 频部 分 再 进行 分 解 , 因此 不 能提 高 高频 部分 的频域 分 辨率 . 而小 波 包分 解 可 以 对 信 号在 全部 的分析 频 带 内 进 行 正交 分解 3[] , 不仅 可 以 提 高低 频 部分 的 频域 分 辨率 , 而 且 可 以 提高 高 频部 分 的频 域 分辨 率 . 小 波包 分解 也 采用 M al at 算 法 , 它对 上 次分解 之 后 的低 频 信号 和 高频 信 号 同时进 行 再分 解 . 分 解 的过 程 如 图 2 所示 . 盘目三 些 Hc o G e o H 与 } G CH 。 } G G` } H G 〔 o 图1 小波分解示意图 图2 小波包分解示意 图