小波变换在信号滤波中的应用

D0I:10.13374/j.issn1001053x.1997.04.036 第19卷第4期 北京科技大学学报 Vol.19 No.4 1997年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.1997 小波变换在信号滤波中的应用* 徐科)徐金梧)杨大雷) 1)北京科技大学机械工程学院，北京1000832)宝山钢铁（集团）公司检测公司201900 摘要概要地叙述了小波、小波包理论，提出了一种用小波包分解和信号重构进行信号滤波的方 法.先用小波包分解把信号分解到相邻的不同频率段上，然后用信号重构方法对各个频率段上的 信号进行重构.以电机的振动信号为例，说明这种方法可以有效地用于信号的滤波， 关键词小波，小波包，信号重构，滤波 中图分类号T911.7 小波分析作为一种崭新的信号处理方法在工程界受到了越来越广泛的重视·~引.它能将 由各种不同频率成分组成的混合信号分解到不同的频率段上，有效地用于信号滤波和信噪分 离，在工程中用的信号滤波方法一般有低通、带通和高通滤波，它们都只是提取信号某一频 率段的成分，不能同时给出信号各个不同频率段的成分，因此所得到的信号其信息量是不完 整的。而小波变换能同时给出信号各个不同频率段的成分，其信息量是完整的.而且，由于信 号被分解到了各个不同的频率段上，我们可以从中找出所感兴趣的频率成分，再进行分析，这 样可以有效地提取信号的特征， 本文采用小波包分解和信号重构理论，先用小波包分解的方法把信号分解到各个不同的 频率段上.由于经小波包分解之后，各个频率段信号的数据量减少，因此其时域分辨率降低. 这时再采用信号重构的方法，把分解后得到的某一频率段成分进行重构，提高其时域分辨率， 以达到滤波的目的. 1小波、小波包理论 小波变换的定义4.为： Wf(a,b)=f,Y>=ia2/0平。bd (1) 这里的平()是振荡衰减且具有紧支集的函数，称为基本小波函数. 在工程应用上，我们更关心的是小波级数).函数f()可以展开为小波级数： f0=∑C.￥，.0 (2) 式中，￥，.0由基本小波函数经平移和收缩得到，平4=22Y(21-. 1996-11-05收稿第一作者男25岁博士 ◆国家教委“跨世纪优秀人计划“基金资助

第 1 9卷 第 4期 19 9 7年 8月 北 京 科 技 大 学 学 报 JO u r n a l o f U n i v e r s i ty o f Sc i e n e e a n d T e e h n o l o g y B e ij i n g V o l . 19 N 0 . 4 A u g . 19 7 小 波变换在信号滤波 中的应用 * 徐 科 )l 徐金梧)2 杨 大 雷)3 1)北京科技大学机械工程学院 , 北京 10 0 0 8 3 2) 宝 山钢铁 ( 集团 )公 司检测公 司 2 0 19 0 摘要 概要 地叙述 了小波 、 小波包理论 , 提出 了一种用 小 波包分解和 信号重构进行信 号滤波的方 法 . 先用小波包分解 把信 号分解到相邻 的不 同频率段上 , 然 后用信号重构方法对 各个 频率段上的 信号进行重构 . 以 电机的振动信号为例 , 说 明这种方法可 以有效地用于信号的滤波 . 关键 词 小 波 , 小波包 , 信 号重构 , 滤波 中图分类号 T N 9 1 1 . 7 小波 分 析作 为一 种崭新 的 信号处理方 法 在工程 界受 到 了越 来越 广泛 的重视 「’ 一 ’ 〕 . 它能将 由各 种 不 同频率 成分 组成 的混 合信 号分解 到 不 同的频 率段上 , 有效 地用 于信号 滤波和 信噪 分 离 . 在 工 程 中用 的信 号 滤波 方法 一 般有 低 通 、 带 通 和高 通 滤波 , 它们 都 只是提 取信号 某一 频 率 段 的成 分 , 不 能 同时 给 出信号 各 个不 同频率段 的成 分 , 因此所 得 到的信号其信息量 是不 完 整的 . 而 小波 变换 能 同时给 出信 号各个不 同频率 段 的成分 , 其信息量是 完整 的 . 而且 , 由于信 号被 分解 到 了各个 不 同的频 率段 上 , 我们可 以从 中找 出所感 兴趣 的频率 成分 , 再进行 分析 , 这 样可 以有 效 地提取 信 号的特 征 . 本 文采 用小 波包 分解 和信 号重 构理论 , 先 用小波 包分 解的方 法把 信号分解 到各个不 同的 频 率段上 . 由于经 小 波包 分解 之 后 , 各个 频率段信 号 的数据量 减 少 , 因此其时域 分辨 率降低 . 这 时再 采 用信 号重构 的方 法 , 把分解 后得 到 的某一 频率段 成分 进行 重构 , 提 高其 时域分 辨率 , 以 达 到滤波 的 目的 . 1 小波 、 小波包理论 小波 变换 的定 义 a[, ’ l为 : wf( “ , b ) 一 守 , 戮 。 > 一畔 , I ()tJ 乎(宁 ) d , 这里 的 乎()t 是 振 荡衰减 且具 有 紧支集 的 函 数 , 称 为基 本小波 函数 . 在工 程应 用上 , 我们 更关心 的是 小波 级数 s[] . 函数 f ()t 可 以 展开 为小波 级数 : f()t 一 黔 , 羔()t^ 式 电 戮 , 、 ()t 由基本 小波 函 数 经平移 和 收缩得 到 , 戮 , 、 一 2 ` ’ 梦(欢 一 k) · ( l ) ( 2 ) 19 9 6- 1 1 · 0 5 收稿 第 一作者 男 25 岁 博 士 * 国家教委 “ 跨世纪优 秀人计划 ” 基 金资助 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1997. 04. 036

Vol.19 No.4 徐科等：小波变换在信号滤波中的应用 ·383· 由式(2)可以看出：小波变换的实质就是将函数f()表示成为满足一定条件的基本小波 函数()经平移和收缩的线性组合.当j增大时，平，()的时域窗变宽，这就意味着时域分辨 率降低；而频域窗变窄，意味着频率分辨率提高.因此，小波变换有自动调整信号时域分辨率 和频域分辨率的功能.其调整的方法是：高频部分采用高的时域分辨率，低的频域分辨率；而 低频部分则采用高的频域分辨率，低的时域分辨率.这符合高频和低频分析的需要，因此小波 分析非常适用于信号处理. 小波分析的一个重要途径是多尺度分析理论，多尺度分析是一种对信号的空间分解的 方法.在多尺度分析的基础上，产生了小波分解的Mallat算法).这一算法在小波分析中的地 位相当于快速傅里叶变换(FFT)在信号频域分析中的地位，它可以表述为： =f (k=0,1,2,…,N-1) (3) 4=8,- k<0,c=c°4 k≥Ng=CN-A-I 其中，f是信号的时域波形，N是采样点数；h(),g(n)是一对共镜像滤波器(QMF)H和G的 脉冲响应，表示分解的层数 运用Mallat算法，可以将信号一层层进行分解，每I层分解的结果是将上次分解得到的 低频信号分解成低频和高频两部分.若分解前信号的频带范围是0~fmx,则分解后得到的低 频信号频带范围为0~fmx,高频信号频带范围为fmx/2~厂mx.每1次分解后的数据量减半， 因此分解后得到的低频成分和高频成分的时域分辨率比分解前信号降低一半， 经Mallat算法分解之后，信号还可以用重构算法进行重构，重构算法表述如下： 4=∑c*"h-n+d*'g-n(k=0,1,2,…,N-1) (4) k<0,c0=c°k k≥0，c是=c3N-k-1 重构算法实质上是分解算法的逆过程，经每1层重构之后，信号的数据量增加1倍，因此 可以提高信号的时域分辨率.实践证明，小波分析具有很强的信号重构能力，它几乎可以完全 重构出原来信号 由图1可以看出，Mallat算法对信号进行多频带分解的过程中，没有对高频部分再进行 分解，因此不能提高高频部分的频域分辨率.而小波包分解可以对信号在全部的分析频带内 进行正交分解)，不仅可以提高低频部分的频域分辨率，而且可以提高高频部分的频域分辨 率.小波包分解也采用Mallat算法，它对上次分解之后的低频信号和高频信号同时进行再分 解，分解的过程如图2所示， G c Hco Gco Hco Gco HHco HHco GHco GGa HGca 中中牛 g 图1小波分解示意图 图2小波包分解示意图

V lo . 1 No 9 . : 徐科等 小 波变换在 信号滤波 中的应用 4 · 8 3 3 · 2 ) 由式 可 以看 出 ( : ) 小 波 变换 的实 质就是 将 函 数 f t 表示 成 为满足 一定 条件 的基本 小波 ( ) 函 数 了 t 经平 移和 收缩 的 线性 组合 ( · 当 J 增 大 时 , 戮 , 、 (t) 的 时域 窗变 宽 , 这 就意 味着 时域 分辨 率 降低 ; 而频 域 窗 变窄 , 意 味着 频 率分 辨 率提 高 . 因 此 , 小 波 变换 有 自动 调整 信号 时 域分 辨率 和频 域分辨 率的功 能 . 其调 整 的方 法 是 : 高频 部分 采 用高 的 时域 分 辨率 , 低 的频 域分 辨 率 ; 而 低 频 部分 则采 用高 的频 域分 辨率 , 低 的 时域 分辨 率 . 这符 合高 频和 低频 分析 的需要 , 因此 小波 分 析 非常 适用 于信 号处理 . 小 波分 析 的一 个重要 途 径是 多尺 度分 析理 论〔’ 〕 , 多 尺度 分析 是 一种 对信 号 的空 间分 解 的 方法 . 在 多尺 度 分析 的基 础上 , 产生 了 小波分 解 的 M al at 算 法〔’ ] . 这 一算 法在 小波 分析 中的地 位 相 当于快速傅 里 叶变 换 ( F F T ) 在信 号频域 分析 中的地位 , 它 可 以 表述 为 : 理 二 人 } (无 一 ` , N 一 ” (3 ) 、 < o , 。 : 一 e 几 、 k : 从 。 : 一 c { N 一 、 一 , 其 中诉 是信 号 的时域波 形 , N 是 采样 点数 ; h ( n) , g ( 。 )是 一 对共扼 镜像 滤波 器 ( Q M )F H 和 G 的 脉冲响应 3[] , j 表 示分 解 的层 数 . 运 用 M al at 算 法 , 可 以 将信 号 一层 层进 行 分解 , 每 1 层 分解 的结果 是将 上 次分 解得 到 的 低 频信号分解 成低 频 和高 频两部 分 . 若分解 前 信号 的频 带范 围是 0 ~f ’ m a x , 则 分解 后得 到 的低 频 信号 频带范 围为 O e 了 . m ax , 高 频信 号频带范 围为产m a 、 / 2 一 几 a 、 . 每 1 次分 解后 的数据 量减半 , 因此分解 后得 到的低 频成 分和 高频成 分 的时域分 辨 率比分 解前 信号降低 一半 . 经 M al at 算 法分解 之 后 , 信号 还可 以 用 重构算 法进 行重 构 , 重构算 法 表述 如下 : 喊 一 耳代 + ’ h 、 一 2 。 + 粤武 ` ’ g 、 一 2 。 (k 一 0 , ’ , “ , 一 N 一 ’ ) ( 4 ) 、 < o , e : 一 e -o 、 k 二 0 , c : 一 c : 、 一 、 一 ; 重 构算 法 实质 上是分 解算 法 的逆过 程 , 经 每 1 层重 构之 后 , 信号 的数 据量 增加 l 倍 , 因此 可 以 提 高信 号 的时域 分辨 率 . 实践证 明 , 小 波分 析具 有很 强 的信 号重 构能 力 , 它 几乎 可 以 完全 重构 出原来信号 . 由图 1 可 以 看 出 , M al at 算 法 对信 号 进行 多 频带 分 解 的过 程 中 , 没 有 对高 频部 分 再 进行 分 解 , 因此 不 能提 高 高频 部分 的频域 分 辨率 . 而小 波 包分 解 可 以 对 信 号在 全部 的分析 频 带 内 进 行 正交 分解 3[] , 不仅 可 以 提 高低 频 部分 的 频域 分 辨率 , 而 且 可 以 提高 高 频部 分 的频 域 分辨 率 . 小 波包 分解 也 采用 M al at 算 法 , 它对 上 次分解 之 后 的低 频 信号 和 高频 信 号 同时进 行 再分 解 . 分 解 的过 程 如 图 2 所示 . 盘目三 些 Hc o G e o H 与 } G CH 。 } G G` } H G 〔 o 图1 小波分解示意图 图2 小波包分解示意 图

·384· 北京科技大学学报 1997年第4期 由图2可以看出，小波包分解可以把信号分解到相邻的不同频率段上.而且，随着分解层 数的增加，频率段划分得越来越细，若分解前信号的频带范围为0~mx,则经j层分解之后得 到的信号各个频率段的频带范围为0~(1/2)fmax,(1/2)fm~(2/2)fmx,…(2-'/2)fm ~fx·但是，和小波分解一样，经过每一层变换后的数据量减半.分解到第j层时，j层中每 一频率段的数据量是原来信号数据量的1/2'倍.因此，越往下分解，各个频率段上的时域分 辨率就越低.为了提高时域分辨率，可以采取下面信号重构的方法. 如要观察信号某一频率段上的时域波形，那么保留这一频率段的数据，把其它频率段的 数据置为零，再用重构公式(4)，把信号一层层进行重构.每一层重构完以后，所得到的数据量 增加】倍，这样经过层重构之后，就可以把这一频率段信号的时域分辨率提高到原始信号的 大小，也可以采用这种方法，把几个不同频率段上的信号合起来重构.如果把所有频率段上的 信号合起来重构，就可以重构出原始信号. 2应用 图3为电机的示意图，图上表明了测点A的位置.图4为A测点振动时域信号，其分析频 率为2000Hz,采样频率为2000Hz×2.56=5120Hz.图5为图4时域信号的频谱图.由图5 可以看出，信号的主要谱线为50Hz和200Hz.50z为 A测点 电机转速频率，200Hz为电机转速频率的4倍频.对图4 的信号作5层小波包分解，可以把原有信号分解为32个 相邻的频率段，每个频率段的带宽为5120Hz /32=160Hz.50z处于0~160Hz范围内，即第1频率 段，280z处于160Hz~320H范围内，即第2频率 图3电机和测点简图 段，对第1频率段信号进行重构，图6是重构信号的频谱图.由图6可以看出：频率成分主要集 中在50Hz,也就是电机的转速频率，因此第1频率段的重构信号是由电机转速频率所引起的 振动信号.对第2频率段的信号进行重构，图7是重构信号的频谱图.由图7可以看出，频率成 分主要集中在200Hz,也就是电机转速频率的4倍频，因此第2频率段的重构信号是由电机 转速4倍频所引起的振动信号.经小波包分解之后就把电机的原始振动信号分解到不同频率 段上，从而能够分别提取出电机的转速频率信号和转速4倍频信号，这对分析电机的故障很 有用. 10 203040.5060708090100 U/ms 图4A测点的振动时域波形，分析频率为2000Hz,采样数1024个 2505007501000125015001750200022502500 fHz 图5图4信号的频谱图，分析频率2000Hz,采样数1024个

· 3 8 4 · 北 京 科 技 大 学 学 报 19 9 7年 第 4期 由图 2 可 以 看 出 , 小 波包 分解 可 以 把信 号分解 到相 邻的不 同频率段 上 . 而 且 , 随着 分解层 数的 增加 , 频率段 划 分得越 来越 细 . 若分解 前 信号 的频 带范 围 为 O e 了 . m ax , 则经 j 层分解 之后得 到 的信号 各 个频 率段 的频 带范 围 为 。 一 ( l / 约 fm ax , ( l / 约fm ax 一 (2 / 约 fm ax , … ( 2) 一 ’ / 约 fm ax 一 fm ax . 但 是 , 和小 波分 解一 样 , 经过 每一 层变 换后 的数据量 减半 . 分解 到第 j 层时 , j 层 中每 一频 率段 的数据量 是 原来 信号 数据 量 的 1 / 守 倍 . 因 此 , 越往 下分 解 , 各个频 率段 上的时域 分 辨率 就越低 . 为了 提 高 时域分 辨率 , 可 以 采取 下面 信号 重构 的方法 . 如要 观 察 信号 某 一频 率段 上 的 时域 波形 , 那 么保 留这一 频率 段 的数 据 , 把其 它频 率段 的 数据 置为 零 , 再 用重 构公 式 ( 4) , 把 信 号一层 层进 行重 构 . 每一层 重 构完 以 后 , 所得 到的数 据量 增 加 1 倍 . 这样 经过 j 层重 构之后 , 就 可 以 把这 一频 率段 信号 的时域 分 辨率提 高到 原始 信号 的 大小 . 也 可以 采 用这 种方 法 , 把几 个不 同频率 段 上 的信 号 合起来 重构 . 如 果把 所有 频率 段上 的 信 号 合起来 重 构 , 就 可 以 重构 出 原始信 号 . 2 应用 图 3 为 电机 的示意 图 , 图上 表 明了 测点 A 的位置 . 图 4 为 A 测点 振动 时域信号 , 其 分析频 率为 2 0 0 0 比 , 采样 频率 为 2 0 0 0 zH x .2 56 = 5 12 0 zH . 图 5 为图 4 时域信 号的频 谱图 . 由 图 5 可 以 看 出 , 信 号 的主 要 谱 线 为 50 比 和 2 0 比 . 50 比 为 电机 转速 频 率 , 2 0 0 比 为 电机转 速频 率 的 4 倍频 . 对图 4 的信号作 5 层 小波 包分 解 , 可 以 把原有 信号 分解 为 32 个 相 邻 的 频 率 段 , 每 个 频 率 段 的 带 宽 为 5 12 0 比 /3 2 = 16 0 zH . 5 0 zH 处 于 O 一 16 0 比 范 围 内 , 即第 l 频 率 A测 点 段 , 28 O zH 处 于 16 0 比 一 3 20 比 范 围 内 , 即 第 2 频 率 图3 电机和测点简图 段 . 对第 1 频率 段信 号进 行 重构 , 图 6 是 重构信 号 的频谱 图 . 由图 6 可 以 看 出: 频率 成分 主要集 中在 50 比 , 也 就是 电机 的转速频 率 , 因此第 1 频 率段 的重构信号是 由电机 转速 频率所 引起 的 振 动信 号 . 对第 2 频 率段 的 信号 进行重 构 , 图 7 是重 构信号 的频 谱 图 . 由图 7 可 以 看 出 , 频率成 分 主要 集 中在 2 0 0 比 , 也 就 是 电机 转速 频率 的 4 倍频 , 因此第 2 频 率段 的重构 信号 是 由电机 转速 4 倍频 所 引起 的振 动信号 . 经 小波 包分 解之后 就把 电机 的原始 振动信 号分 解到不 同频率 段 上 , 从而 能够 分 别提 取 出 电机 的转 速频 率信 号和 转 速 4 倍频信 号 , 这 对分析 电机 的故 障很 有 用 . 05 田甚>\ -5 图4 A 测点的振动时域波形 , 分析频率为2 o o zH ,采样数 1 0 24 个 出钾>\ 2 5 0 5 0 0 7 50 10 0 0 12 50 15 0 0 17 5 0 2 0 0 0 2 2 50 2 5 0 0 刀zH 图5 图4信号的频谱图 , 分析频率2 00 0 zH ,采样数 1 0 24 个

Vol.19 No.4 徐科等：小波变换在信号滤波中的应用 ·385· 25050075010001250 0 250 50075010001250 ∥Hz ∥H五 图6第1频率段重构信号的频谱图 图7第2频率段重构信号的频谱图 3结论 (1)小波包分解是对信号在全频带上所作的分解，它保留了信号各个不同频率段的成分， 因此分解后所得到的信号其信息量是完整的. (2)小波包分解能够把信号分解到相邻的不同频带范围内，随着分解层数的增加，其频带 范围分得越来越细，因此可以有效地用于信号的滤波， (3)小波包分解能够同时给出信号各个不同频率段上的成分，便于我们更加有效地提取 信号的特征， (4)采用信号重构方法，可以提高小波包分解后各个不同频率段上信号的时域分辨率. 参考文献 I Mallat S.A Theory for Multiresolution Signal Decomposition:The Wavelet Representation on Pattern Analysis and Machine Intelligence.IEEE Trans,1989,11:674 2 Daubechies I.Orthonomal Bases of Compactly Supported Wavelets.Comm Pure and Appl Math. 1988,41:909 3赵纪元.小波包一自回归谱分析及在振动诊断中的应用.见第四届全国机械故障诊断学术会议论文集， 1994.109 4秦前清，杨宗凯.实用小波分析.西安：西安电子科技大学出版社，1994 5崔锦泰.小波分析导论.西安：西安交通大学出版社，1995 Application of Wavelet Transform in Signal Filtering Xu Ke)Xu Jinwu)Yang Dalei I)Mechanical Engineering School,UST Beijing,Beijing 100083.China 2)Baoshan Iron Steel Corp.(Group).Shanghai 201909 ABSTRACT A new method of signal filtering with wavelet packets and signal reconstruction is proposed.At first,signal is decomposed in different frequency bands,and then the signal of each frequency band is reconstructed.By analyzing the vibration signal of a motor,this method is applied in signal filtering successfully. KEY WORDS wavelets,wavelet packets,signal reconstruction,signal filtering

V o l . 1 9 N o . 4 徐科等: 小波变换在信号滤波 中的 应用 . 3 8 5 . 任进>、 0 2 5 0 5 00 7 50 / 比 > 、 、 进 } 留 } - 盛- 一 . . - J 10 0 0 12 50 0 2 5 0 50 0 7 5 0 j/ 比 10 0 0 12 5 0 图6 第1频率段重构信号的频谱图 图7 第2 频率段重构信 号的频谱 图 3 结论 (l ) 小 波包 分解 是 对信 号在 全频 带上 所作 的分 解 , 它保 留了信 号各 个不 同频率段 的成分 , 因此分 解后 所得 到 的信号 其信 息量 是完 整 的 . (2) 小 波包 分解 能够 把信 号分解 到 相邻 的不 同频带 范 围 内 , 随着分 解 层数 的增 加 , 其频 带 范 围分得 越来 越细 , 因 此 可 以有 效地 用于 信号的滤 波 . (3) 小 波 包分 解 能够 同时 给 出信号 各 个不 同频 率 段上 的成 分 , 便 于我 们 更加 有 效地 提取 信号 的特 征 . (4 ) 采 用信号 重构 方 法 , 可 以 提 高小波 包分 解后 各个 不 同频率段 上 信号 的时域 分 辨率 . 参 考 文 献 1 M al l at 5 . A hT e o yr fo r M u lit er s o l u ti o n S i g n a l 块 e o m po s i it o n : hT e W a v e l e t eR P er s e n at it o n o n P a tet nr nA al y s i s an d M ac ih n e I n et llig e cn e . IE E E T ar n s , 1 9 8 9 , 1 1: 6 7 4 2 伪 u be c ih e s 1 . O hrt o n o m al B a s e s o f C o m Pa c t ly S u P op rte d Wa v e l e ts . C o m m P u re a n d A PP I M a th , 19 8 8 , 4 1 : 9 0 9 3 赵纪元 . 小波包 一 自回归 谱分析及在振动诊 断中的应用 . 见第四 届 全国 机械故障诊断学术会议论文集 , 19 9 4 . 1 0 9 4 秦 前清 , 杨宗凯 . 实用 小波分析 . 西安: 西 安电子科技大学出 版社 , 1 9 9 4 5 崔锦泰 . 小波分 析导论 . 西安 : 西 安交通大学 出版社 , 1 9 95 A P P l i e a t i o n o f W a v e l e t T r a n s of rm i n S ig n a l F i l t e r i n g Xu eK l) l) M e e h a n l e a l E n g 一n e e n n g 2 ) B a o s h a n I or n & xu iJ n w u l ) 物n g D a z e i Z ) S e h o o l , U S T B e ij i n g , B e 一J 一n g 10 0 0 8 3 , C hi n a 5 t e e l C o 印 . ( G r o u p ) , S h a n g h a l 2 0 19 0 9 A B ST R A C T A n e w m e t h o d o f s i g n a l fl let ir n g w i th w a v e l e t P a e k e st a n d s i g n a l er c o n s t ucr it o n 1 5 P or P o s e d . A t if sr t , s ig n a l 1 5 d e e o m P o s e d i n d i fe er n t fer q u e n e y b a n d s , a n d ht e n ht e s i g n a l o f e ac h fer q u e n e y b a n d 1 5 er e o n s t ur e t e d . B y an a l y z i n g th e v i b ar t i o n s i g n a l o f a m o ot r , t h i s m e t h de 1 5 ap Pli e d i n s i g n a l fl let ir n g s u c e e s s fu lly . K E Y W O R D S w a v e l e st , w a v e l e t P a c k e t s , s i g n a l er e o n s t ur e it o n , s i g n a l if l te ir n g