两类三阶线性微分方程的降阶条件.pdf_大学文库

V o l . 19 N o . 5 李安贵等 : 两类三阶线性微分方程的降阶条件证明 : 先证犷 , 。 ; , 矿都是方程 (7) 的解 · 这里 , 只就 y , = 。 ; 给出证明 . 事实上 , 夕1 ’ ` + Z Q( )t 夕 ` ; + Q , ( t) 夕1 = [ u ’ , , v + 3 u ` , v ` + 3 u ` v ’ , + 。、 ’ , 〕 + ZQ( t) [ 。 , 、 + 。 v , ] + Q , ( l) 。、 - 告 : 2一 + 。( 。 · 〕 , · + 告 · 〔2一 + 。 (。 · 〕 , + 号〔2一 + 。 (。 · 】一 + 号一【Z v ” + Q( t) v』= 0 再证 “ , , 。 v , v Z 的 w or ns ky 行列式峨x) (在所论区间上 ) 恒不为 0 . 事实上 , 根据行列式的性质 , 容易推得羊 O ,、 , 。一引 … 理 2 的意义在于 , 求解三阶线性方程现在 , 来寻求一种自变量代换 t = 以x) , 式 . 为此 , 在方程 (3 ) 中 , 同时令 (7 ) 的问题 , 可经求解二阶线性方程 (6) 得到解决 . 以期方程 ( l) 经过此代换可转化为方程 ( 7) 的形 (A O = 0 及 (r x) 〔沪 ,( x) ] 一 ’ 二工刀 , (。 2 一l2 { ’ 沪期 + 」 L L甲 Lx) , P (x) 沪 ` (x) = 0 票「些丝业单华零里业竺{ ( 8 , ~ L L尹气x) 」」以待定所需要的代换 , 并探讨尸(x) , q( x) 及 (r x) 之间应满足的条件 . 由式 ( 8) 的第 1 式 , 可得所需要的自变量代换 t = 沪(x) ( 9 ) 将其代人式 ( 8) 的第 2 式 , 又可得 : r (x) e ] p (劝dx = 工旦「 2 d t L ( q (x) 一 J e 一争 p (x) 、一告 , , (x) 一香 , 2 (x) ) ·番`一山 1 ( 10 ) 经整理化简 , 便饰(x) , q( x) 及 (r x) 之间应满足的条件 : 2 (x)r 一、 , x() 一粤 , ” x() 一寻x()P , , x() 一共 : ax() 、寻 , x() 。 x() 〕 J ` I J 由此可得定理 1 . 定理 l 三阶变系数线性微分方程 l( )经自变量代换一尹(力一丁一如 p (· ha _ _ 咖 + ZQ()t而 + Q r ( )t y = U t 。一y 飞 f . 一dd 可化为方程 (其中 , Q ()t 一喜r 、 (、一粤 , , (、一县 , 2 (、 1 。枷 \ , 而二以 , 一 , (、一卜一知ha 之反函数代乙 L J , J J

北京科技大学学报 1 9 9 7年第 5期人 ) 的充分必要条件是 : 2 p ” ( x) + 翔 ( x) 沙 ` (Xj + 天 p ` (x) 一 q (xj J = j l q ’ ( x) 一艺r ( x) J , ( 1 1) 证明 :方程 l( ) 经代换式 (9) 可化为方程豁 · 〔、 (x) 一合 , , (x) 一昌 , 2 (x) 」·蚤`一“ 宗一 (x) · `一夕一。 ( 12 ) 必要性 : 设方程 ( 1 2) 即为 ( 7) , 则由式 ( 10) 可知 , 条件 ( 1 1) 成立 . 充分性 : 设条件 ( 1 ) 成立 , 则由犷 ( x) · , 一告l 。 , (x) 一合 , , , (x) 一号 , ( x) , , ( x) 一去 , 3 ( x) + 号 , (x) 、 (x) 1 · ` 尸 (一告l ( 、 , (x) 一合 , , , (x) 一普 , (x) , , ( x) 卜号 : (x) ( 、 (x) 一合 , , (x) 一号 , 2 (x) ) 」 · `一合最! (。 (x) 一告 , , (x) 一香 , 2 ( x) ) ·号, · “ dx」 ·奋` ·`” “ 一告录l ( 、 (x) 一奋 , , (x) 一号 , 2 (x) ) ·号` ·`” dx」即知方程 ( 1 2 )就是方程 (7 ) 定理 1及引理 2 表明 , 二阶线性方程 (6 ) , 即 : d Z z 满足条件 ( n ) 的三阶线性方程 (l ) 是 1 种可降阶方程 , 其通解可由壹} a(x) 一合 , x,() 一昌 , x()z 1渺气一。 ( 13 ) (其中 x 以 t 二抓 x) 号` p (” “ 诫反函数代人 )的基本解组给出 . 例 : 求解夕川 + 了一万 y 十 X 2 l + 犷 8 X ( l + 犷) , y = 0 一时 ! x 一6 解 : 易知所给方程满足条件 ( 1 ) . 由 f 一上「竺上 dx _ 「 dx = le ’ ` ’ + ` 山二 ! 丁二一一万 = a er gt x, J J l 十 X 「、 (、一粤 , , (、一县 , 2 (、 1 。蚤` 刀 “ 一 4 ( 1 + 2、 ) 一 4 (卜 2 堪 2。 , L J , 」 _ . 、 , _ _ , , 、、 _ _ _ _ _ 、 , d Z z _ 。 _ 叫知 ( 与乙相压的少万性 ( l 习刀 : 下下一 ( 1 + Z gt 一 t) 艺 = U, Q f 。。 d Z z 以p : 二 , 不 . 一 d 犷 ( s e e t) “ S C C t : = 0 . 此二阶线性方程的基本解组为 “ = s ce t , 、 = is nl 十 t s e t , 故所给方程的通解为 : , = C l s e e Z t + 矶 s e c r ( s i n r + t s e e l) + 砚( s i n r + t s e e )t ’ - e . (卜、 ) + : 【· + ( 1 + 、 ) aer 、 x] + 击〔 · + (卜、 )一、 x] 2 3 方程 (1 ) 的第 2 种可降阶新类型引理 3 如果几()t , 几 ()t 是二阶线性方程 : ` , 一 Z A ` ( t) z = 0 ( 14 )

V 0 1 . 19 N d . 5 李安贵等 : 两类三阶线性微分方程的降阶条件的基本解组 , 则三阶线性方程豁 · (A 。豁 · A[ ’,( 。一 2 (A。 , 、 )t] , 一。 , 一 `一 IJ ( c l· l + : : ) · `一 d ! + c3 」 ( 15 ) 的通解可表为 : ( 16 ) 证明 : 注意到方程 ( 1 5) 可变形为 : 刹祭 · x()A 刁一 ZA tI<,[ 祭 · ()tA * ] 一 0 , 从而 , 有 : {业、 { “ ` ’ t z ” (t) (A t) y 会戏t) 一 Z A义t) 式t) = 0 由此即知引理 3 成立 . 现在 , 再寻求 1 种自变量代换 , 以期方程 ( l) 经此代换可转化为方程方程 (3 ) 中 , 令 : 筑 t) 二 o , r (t) 〔沪 ,( x) ] 一 ’ = 才 , (t) 一 2 (A t) 才 (t) 即 : 沪 ` , , (x) 夕(x) 沪 ” ( x) + 叮(x) 沪 ` (x) = 0 (r x) 〔沪 ’ ( x) ] 一 , = ’A ,( x) 一 2 (A )t 才 ()t 首先 , 在 ( 17) 式中令沪 ,( x) = , , 并取 q (x) = P ’ (x) ( 1 5) 的形式 . 为此 , 在 ( 17 ) ( 18 ) 则有〔一 + (x)P ’v] 一。 , 解之 , 可得一俩。 } 。丁 ·俩。、 + : 」 · 这里 , 要求。 : + c : ( 19 ) 羊 0 . 为简单 , 不妨取 C , 二 0 , q = 1 , 于是得到 : 、 ., 护、户. 0 1 .1 ù`, 、了. 、 .、2 ` 一 , (x) 一 J 一 `一、这就是所需要的自变量代换 . 再将其代人 ( 4) 式 , 又可得到 (A t) 一助x() e 扭抽及 , , (、一芸瓮一 2。 , (x) + , 2 (x) , e Z` · `” dx A ` ()rt 一 2 (A )t A ’ ()t = 一 2助 ` 义x) + 8P x() ’(P x) + 6P ’ x() ] e’ xn()j dx “ ( 2` ) , ( 2 2 ) , (2 3 ) , 式中 , 均以才一 , (、一丁。一 ` p ( % 之反函数代人 · 最后 , (2 2 ) (2 3) 由式 ( 18) 又可得 : r (x) = 一 2助 , , ( x) + 8P ( x) 夕 ’ ( x) + 6P , (x) ] (2 4 ) 反之 , 也可以证明 : 满足条件 ( 19) 及 ( 2 4) 的三阶线性方程 l( ) 经变量代换 ( 2 0) 能化为形如 l( 5) 的三阶线性方程 d加 _ _ _ , _ 。月具加 _ r _ _ _ ` _ ` _ _ , _ _ , , f _ , 诵月 _ 二万一动(x) eJ “ 回 “ 七万一 2切 r r( x) + 印(x) P ` (x) + 如 “ (xj J e J ’ 八一y = 0 U 不 Q l ( 2 5 ) 综上所述 , 可得定理 2

· 52 4 · 北京科技大学学报 19 97 年第5期定理 2 三阶变系数线性微分方程 (l )经自变量代换 ( 2 0) 化为形如 ( 15) 的方程 ( 2 5) 的充分必要条件是 (P x) 二阶连续可微且 q( x) = p ` (x) 及(r x) = 一 2助 ` , x() + 助( x)r ` (x) + 助 ’ (x) ]同时成立 . 由定理 2 及引理 3 , 可得下述推论 . 推论如果 z1( t) , 几 ()t 是二阶线性方程矛z 丽 + 4 IP ’ ( x) + p ` (x) j “ ` ’ “ 一、一 U (其中 · 以 ` 一 , (。一丁一 ` p (。 ` 之反函数代人 ,的基本解组 , 贝“三阶线性方程夕” , + 尸(x) 夕” + 夕 ` (x) 夕一 2助 ” (x) + 8P (x) 尸` ( x) + 助 ’ ( x) ]少 = o 的通解为 : , 一。一 I` 。` [J ( q z , + q 几) e l 戏。勺 , + q ]I , 一 r 。一、。其中 (A )t 由 (21 )式给出 . 参考文献 1 卡姆克 E 著 . 常微分方程手册 . 张鸿林译 . 北京 : 科学出版社 , 19 7 7 2 王柔怀 , 伍卓群编 . 常微分方程讲义 . 北京 : 人民教育出版社 , 19 63 3 钱祥征编 . 常微分方程解题方法 . 长沙 : 湖南科学技术出版社 , 1 9 84 4 吴植 , 车克健 . 关于三阶线性微分方程的可积新类型 . 数学的实践与认识 , 1 99 5(4) : 7 7一 85 5 吴植 , 李安贵 . 三阶线性微分方程的若干新的可积类型 . 北京科技大学学报 , 19 95 , 1 7 (3) : 2 89 一 2 93 6 吴植 , 杨晓明一类三阶线性微分方程的可积条件 . 工科数学 , 1 995 , 1 1 (2) : 2 52 一2 54 D e s e e n d i n g o r d e r C o n d it i o n o f T w o F o mr s o f T h ir d 一 o r d e r L i n e ar D i fe r e n t i a l E qu at i o n s 刀肋g ul’ 川班 aT n A P Pl i e d cS i e nce S e h o l , US T B e ij igD , B e ij i lg l 0 0() 8 3 , C h i an A B S TR A C T c o n id it o n s o f e oc if e i e n ts a re K E Y W O R D A PP li c iat o n o f hte t l习Jl s of rm iat o ns o f i n d e pe n d e n t v iar ab l e , de s e e n d i n g o dr e r wt o ne w fo mr s o f iht 略 o dr e r line ar id fe er n it al e q au it o ns w i ht v iar abl e O b iat ne .d line ar id fe er n it al e q au it o n , de s e e n id gn o 川e r e o n d iit o n , g e ne 间 s o l u it ons