第四讲矩阵的对角化 基 元素 坐标向量 元素加法 坐标向量的加法 数乘 数与元素“乘” 数与坐标向量相乘 匚线性变换及其作用 对应关系 矩阵与坐标列向量的乘积 对任何线性空间,给定基后,我们对元素进行线性变换或线性运算时,只需 用元素的坐标向量以及线性变换的矩阵即可,因此,在后面的内容中着重研究矩 阵和向量。 对角矩阵的形式比较简单,处理起来较方便,比如求解矩阵方程Ax=b时 将矩阵A对角化后很容易得到方程的解。对角化的过程实际上是一个去耦的过 程。以前我们学习过相似变化对角化。那么,一个方阵是否总可以通过相似变化 将其对角化呢?或者对角化需要什么样的条件呢?如果不能对角化,我们还可以 做哪些处理使问题变得简单呢? 特征征值与特征向量 1.定义:对m阶方阵A,若存在数λ,及非零向量(列向量)x,使得Ax=Ax, 则称λ为A的特征值,x为A的属于特征值λ的特征向量 特征值不唯 特征向量非零 ·(A-A)x=0有非零解,则det(1-A)=0,称det(/-A)为 A的多项式。 22 例14=212,求其特征值和特征向量。 221 de(-A)=-22-1-2|=0 24- (+1)2(-5)=0 1=2 13=5 属于特征值λ=-1的特征向量(-/-A)x=0第四讲 矩阵的对角化 基 元素 坐标向量 加法 元素加法 坐标向量的加法 数乘 数与元素“乘” 数与坐标向量相乘 线性变换及其作用 对应关系 矩阵与坐标列向量的乘积 对任何线性空间，给定基后，我们对元素进行线性变换或线性运算时，只需 用元素的坐标向量以及线性变换的矩阵即可，因此，在后面的内容中着重研究矩 阵和向量。 对角矩阵的形式比较简单，处理起来较方便，比如求解矩阵方程 Ax b = 时， 将矩阵 A 对角化后很容易得到方程的解。对角化的过程实际上是一个去耦的过 程。以前我们学习过相似变化对角化。那么，一个方阵是否总可以通过相似变化 将其对角化呢？或者对角化需要什么样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以 做哪些处理使问题变得简单呢？ 一、特征征值与特征向量 1. 定义：对 m 阶方阵 A ，若存在数  ，及非零向量（列向量） x ，使得 Ax x =  , 则称  为 A 的特征值， x 为 A 的属于特征值  的特征向量。 • 特征值不唯一 • 特征向量非零 • ( ) 0 I A x − = 有非零解，则 det( ) 0 I A− = ，称 det( ) I A − 为 A 的多项式。 [例 1] 1 2 2 2 1 2 2 2 1 A     =       ，求其特征值和特征向量。 [解] 1 2 2 det( ) 2 1 2 0 2 2 1 I A     − − − − = − − − = − − − 2 ( 1) ( 5) 0   + − = 1 2   = = −1 3  = 5 属于特征值  =−1 的特征向量 ( ) 0 − − = I A x