2225 222 051+52+53=0 53=-51-52 可取基础解系为x1=0x2=1 属于=5的特征向量(5/-A)x=0 252=051=52=5 可取基础解系为 2.矩阵的迹与行列式 tA=∑an所有对角元素之和 det4=1λmA=∑4 3.两个定理 (1)设A、B分别为m×n和n×m阶矩阵,则 tr(AB)=tr(BA) (2) sylvester定理:设A、B分别为m×n和n×m阶矩阵,则 det(alm-AB)=2det(al,-Ba) 即:AB与BA的特征值只差零特征值的个数,非零特征值相同。 矩阵对角化的充要条件 定理:n阶方阵A可通过相似变换对角化的充要条件是它具有n个线性无关的特 征向量。 [证明]充分性:已知A具有n个线性无关的特征向量x1,x2,…,xn,则 Ax=1xi=1,21 2 3 222 2 2 2 0 222          =          1 2 3    + + = 0 1 1 2 2 3 1 2         =   =   = − − 可取基础解系为 1 1 0 1 x     =       − 2 0 1 1 x     =       − 属于  = 5 的特征向量 (5 ) 0 I A x − = 1 2 3 4 2 2 2 4 2 0 2 2 4      − −      − − =      − −      1 2 3    = = 可取基础解系为 3 1 1 1 x     =       2. 矩阵的迹与行列式 1 n ii i trA a = = 所有对角元素之和 1 det n i i A  = = 1 n i i trA  = =  3. 两个定理 （1） 设 A、 B 分别为 m n  和 n m 阶矩阵，则 tr AB tr BA ( ) ( ) = （2）sylvster 定理：设 A、 B 分别为 m n  和 n m 阶矩阵，则 det( ) det( ) m n m n    I AB I BA − − = − 即：AB 与 BA 的特征值只差零特征值的个数，非零特征值相同。 二、 矩阵对角化的充要条件 定理： n 阶方阵 A 可通过相似变换对角化的充要条件是它具有 n 个线性无关的特 征向量。 [证明] 充分性：已知 A 具有 n 个线性无关的特征向量 1 2 , , , n x x x ，则 Ax x i i i =  i n =1,2,