第四节 解析函数与调和函数的关系 第四章 解析函数的幂级数表示法 1.教学基本要求 理解复数项级数敛散性的定义，掌握其收敛性的两个刻划定理，掌握复级数的绝对收敛 性及绝对收敛复级数的性质，掌握关于复变函数项级数的柯西一致收敛准则与优级数准则， 熟悉复连续函数项级数的性质，了解复变函数项级数的内闭一致收敛性，熟练掌握关于解析 函数项级数的维尔斯特拉斯定理。掌握阿贝尔定理，充分理解幂级数的敛散性，熟练掌握幂 级数收敛半径的求法，掌握幂级数和函数的解析性。掌握泰勒定理，理解幂级数的和函数在 收敛圆周上的情况，掌握一些初等函数的泰勒展开式，会用间接法把解析函数展开为幂级数。 掌捏解析函数零点的概念及具有零点的解析函数的表达式，掌握解析函数零点的孤立性与解 析函数的唯一性定理，熟练掌握最大模原理及其推论。 2要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章的学习，使学生掌握复数项级数的收敛性的两个刻划定理，复级数的绝对收敛 性及绝对收敛复级数的性质解析函数的等价刻划定理及解析函数项级数的维尔斯特拉斯定 理：熟练掌握幂级数收敛半径的求法，掌握幂级数和函数的解析性。掌握泰勒定理：掌握 些初等函数的泰勒展开式，会用间接法把解析函数展开为幂级数。掌握解析函数零点的概念 及具有零点的解析函数的表达式，掌握解析函数零点的孤立性与解析函数的唯一性定理，熟 练掌握最大模原理及其推论。 3.教学重点和难点 教学重点是复数项级数及其基本性质，一致收敛的复变函数项级数及其性质，解析函数 项级数的维尔斯特拉斯定理，阿贝尔定理和幂级数的敛散性，幂级数收敛半径的求法，幂级 数和函数的解析性，泰勒定理，幂级数的和函数在收敛圆周上的情况，一些初等函数的泰勒 展开式，解析函数零点的孤立性，解析函数的唯一性定理，最大慎原理。教学难点是解析函 数项级数的维尔斯特拉斯定理，泰勒定理，幂级数的和函数在收敛圆周上的情况等。 4.教学内容 第一节 复级数的基本性质 1.复数项级数 2。一致收敛的复数项级数 3.解析函数项级数 第二节 幂级数 1.幂级数的敛散性 2.收敛半径的求法，柯西-阿达马公式 3.幂级数和的解析性 第三节 解析函数的泰勒展式 第四节 解析函数与调和函数的关系 第四章 解析函数的幂级数表示法 1.教学基本要求 理解复数项级数敛散性的定义，掌握其收敛性的两个刻划定理，掌握复级数的绝对收敛 性及绝对收敛复级数的性质，掌握关于复变函数项级数的柯西一致收敛准则与优级数准则， 熟悉复连续函数项级数的性质，了解复变函数项级数的内闭一致收敛性，熟练掌握关于解析 函数项级数的维尔斯特拉斯定理。掌握阿贝尔定理，充分理解幂级数的敛散性，熟练掌握幂 级数收敛半径的求法，掌握幂级数和函数的解析性。掌握泰勒定理，理解幂级数的和函数在 收敛圆周上的情况，掌握一些初等函数的泰勒展开式，会用间接法把解析函数展开为幂级数。 掌握解析函数零点的概念及具有零点的解析函数的表达式，掌握解析函数零点的孤立性与解 析函数的唯一性定理，熟练掌握最大模原理及其推论。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章的学习，使学生掌握复数项级数的收敛性的两个刻划定理，复级数的绝对收敛 性及绝对收敛复级数的性质解析函数的等价刻划定理及解析函数项级数的维尔斯特拉斯定 理；熟练掌握幂级数收敛半径的求法，掌握幂级数和函数的解析性。掌握泰勒定理；掌握一 些初等函数的泰勒展开式，会用间接法把解析函数展开为幂级数。掌握解析函数零点的概念 及具有零点的解析函数的表达式，掌握解析函数零点的孤立性与解析函数的唯一性定理，熟 练掌握最大模原理及其推论。 3.教学重点和难点 教学重点是复数项级数及其基本性质，一致收敛的复变函数项级数及其性质，解析函数 项级数的维尔斯特拉斯定理，阿贝尔定理和幂级数的敛散性，幂级数收敛半径的求法，幂级 数和函数的解析性，泰勒定理，幂级数的和函数在收敛圆周上的情况，一些初等函数的泰勒 展开式，解析函数零点的孤立性，解析函数的唯一性定理，最大模原理。教学难点是解析函 数项级数的维尔斯特拉斯定理，泰勒定理，幂级数的和函数在收敛圆周上的情况等。 4.教学内容 第一节 复级数的基本性质 1. 复数项级数 2. 一致收敛的复数项级数 3. 解析函数项级数 第二节 幂级数 1. 幂级数的敛散性 2. 收敛半径的求法，柯西-阿达马公式 3. 幂级数和的解析性 第三节 解析函数的泰勒展式