24不相关也不独立的随机变量1 随机变量相互独立则它们必然不相关,反之则不然. 例设随机变量X与Y的联合分布为 容易验证X与Y不相关(cov(X,Y)=0),但也不独立 25不相关也不独立的随机变量2 设随机变量X的概率密度函数是偶函数,且EX2<∞.则X与X不相关,而且不 独立 26随机变量51,52独立但其函数m,m2未必独立 设随机变量51与2相互独立,m1与m为它们的函数.由1与52独立性未必能得 出m与m2的独立性.下面分两部分谈这一问题 (1)51,2独立同分布,其函数m,m2独立 例当51,2独立且具有相同的分布N(0,1)时,令 m=51+52,m=51-52 易得m1,m2均服从分布N(0,2),且有 fmn,m2(1,y2)=fmn(1)·fm2(2), 其中fn2(1,y),fn(),fn(y2)分别为n与n的联合分布密度函数及边际分布密度 从而m1与n2独立24 ؃'ØÕá‘ÅCþ-1 ‘ÅCþƒpÕáK§‚7,؃'§‡ƒKØ,. ~ ‘ÅCþX†Y éܩُ ❍ X ❍❍❍❍❍❍ Y -1 0 1 -1 1 8 1 8 1 8 0 1 8 0 1 8 1 1 8 1 8 1 8 N´yX†Y ؃'(cov(X, Y ) = 0)§ØÕá. 25 ؃'ØÕá‘ÅCþ-2 ‘ÅCþXVÇݼê´ó¼ê§…EX2 < ∞. KX†|X|؃'§ …Ø Õá. 26 ‘ÅCþξ1§ξ2ÕáÙ¼êη1§η2™7Õá ‘ÅCþξ1†ξ2ƒpÕá§η1†η2§‚¼ê. dξ1†ξ2Õá5™7U Ñη1†η2Õá5. e¡©üÜ©!ù¯K. (1) ξ1§ξ2Õáө٧ټêη1§η2Õá ~ ξ1§ξ2Õá…äkƒÓ©ÙN(0, 1)ž§- η1 = ξ1 + ξ2, η2 = ξ1 − ξ2. ´η1§η2þÑl©ÙN(0, 2)§…k fη1,η2 (y1, y2) = fη1 (y1) · fη2 (y2), Ù¥fη1,η2 (y1, y2)§fη1 (y1), fη2 (y2)©Oη1†η2éÜ©Ùݼê9>S©ÙÝ. l η1†η2Õá. 12