证明:等式两边同乘以E-A,则原命题等价于 E=(E-A)(E+A+A2+…+A-1 (E-A(E+A+A =E(E+A+A2+…+A-1)-A(E+A+A2+…+4-1) E+A+A2+…+4-1-(4+A2+…+4) E-A-E 证毕 21.已知三阶方阵A的行列式4=3,求:|4 解: A|=|4-1=314-1=9 27.设A,B分别为r,k阶可逆矩阵。 X B 0 证明X-1存在,并求X- 证明:直接计算de(X) 0 A B 0 det(x)= (-1)+k (-1)y+AB≠0 0 A 因此X可逆 x(B)-(10)(x)-E 因此X-1=2 y²µ™¸>”¶± E − A ßK·Kdu E = (E − A)(E + A + A 2 + · · · + A k−1 ) (E − A)(E + A + A 2 + · · · + A k−1 ) = E(E + A + A 2 + · · · + A k−1 ) − A(E + A + A 2 + · · · + A k−1 ) = E + A + A 2 + · · · + A k−1 − (A + A 2 + · · · + A k ) = E − A k = E y." 21. Ænê A1™|A| = 3߶µ |A∗ | )µ |A∗ | = ||A|A−1 | = 33 |A−1 | = 9 27. A, B ©Oèr, kå_› " X = 0 A B 0 ! y²X−1 3ßø¶X−1" y²µÜOédet(X)" det(X) =      0 A B 0      = (−1)r+k      B 0 0 A      = (−1)r+k |A||B| 6= 0 œdXå_" X 0 B−1 A−1 0 ! = 0 A B 0 ! 0 B−1 A−1 0 ! = E œdX−1 = 0 B−1 A−1 0 !