第二类曲线积分(对坐标的曲线积分): 设L的参数方程为 x=g(1) y=v() P(x,y)x+Q(x,y)={P()(m)]q(1)+p(m)v(njwy(m)d 两类曲线积分之间的关系P+gh=(Pcsa+gosB)ds,其中a和份别为 L上积分起止点处切向量的方向角。 格林公式』2-0)=-手P+Q的格林公式2一b=P+Qh 当P=-y,Q=x,即 =2时,得到D的面积:A=h=xd-yd 平面上曲线积分与路径无关的条件 1、G是一个单连通区域 2、P(xy)Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,日Q_P。注意奇点,如(00,应 减去对此奇点的积分,注意方向相反! 二元函数的全微分求积 在=时,P+②b才是二元函数0xy)的全微分,其中 (xy)=∫Pxy)d+xy),通常设x=y=0 曲面积分 对面积的曲面积分(x=1xyx+:(x,y)+:(x)h 对坐标的曲面积分Pxy)+Q(xy)dk+R(x,y)dd其中: (x,y.)bd=xy:(x,yd取曲面的上侧时取正号 P(x,)=「Pxy:y1v,取曲面的前侧时取正号 (x,y)ddk=qx,y(:,x1tdk,取曲面的右侧时取正号 两类曲面积分之间的关系pb+d+Rh=j(Posa+cosB+ Rosy)d 高斯公式，通常设 。 在 ＝ 时， 才是二元函数 的全微分，其中： 二元函数的全微分求积： 减去对此奇点的积分，注意方向相反！ 、 ， 在 内具有一阶连续偏导数，且 ＝ 。注意奇点，如 ，应 、 是一个单连通区域； 平面上曲线积分与路径无关的条件： 当 ，即： 时，得到 的面积： 格林公式： 格林公式： 上积分起止点处切向量的方向角。 两类曲线积分之间的关系： ，其中 和 分别为 设 的参数方程为 ，则： 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）： ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) · 2 ( , ) ( , ) (0,0) 1 · 2 1 , 2 ( ) ( ) ( cos cos ) ( , ) ( , ) { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )} ( ) ( ) 0 0 ( , ) ( , ) 0 0 = + = = +         = = = −   −   = − = = +   −   = +   −   + = + + =  +     = =            u x y P x y dx Q x y dy x y Pdx Qdy u x y y P x Q y P x Q P x y Q x y G G D A dxdy xdy ydx y P x Q P y Q x dxdy Pdx Qdy y P x Q dxdy Pdx Qdy y P x Q L Pdx Qdy P Q ds P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt y t x t L x y x y D L D L D L L L L               曲面积分：                   + + = + + =  =  =  + + = + + Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R ds Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx P x y z dydz P x y z y z dydz R x y z dxdy R x y z x y dxdy P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy f x y z ds f x y z x y z x y z x y dxdy z x yz xy xy D D D D x y ( cos cos cos ) ( , , ) [ , ( , ), ] ( , , ) [ ( , ), , ] ( , , ) [ , , ( , )] ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) [ , , ( , )] 1 ( , ) ( , ) 2 2 两类曲面积分之间的关系：    ，取曲面的右侧时取正号。 ，取曲面的前侧时取正号； ，取曲面的上侧时取正号； 对坐标的曲面积分： ，其中： 对面积的曲面积分： 高斯公式：