2期 邹新堤：关于解析函数的一个唯一性定理及其应用， 117 lim If()-2()dz=0, nto Jin 则必致f()三(=)于D内. §3.在这一节里，訨我們給出定理Ⅱ的一个有趣的应用。即有： 定理III:設区域D,「，T',T”及)皆同于定理，而f()为在D内的全杶 函数列，且每一f.(=)在'連續井为一致有界。即： |fn()l≤C,当∈'时(n=1,2,…), 若存在某一正数序列{：}→0，当n→十∞时。且对于任一固定的k及λ，必有一正弊 数N存在，当m,n≥N时，有 3 Jlf(e)-1()id=≤ 則必致{f()在D内广义一致收歛. 证：首先赴我們証明在定理中的条件下，(f(+)】}在D丙广义一致有界。事实上 殷G1是属于D内的任一已定的阴区域.由于(，}→"”，故必存在某一正整数，当 n≥，时，G1全属于由λm及T'的一部分曲後所粗成的一个簡单可求长閉曲辍T所范围 的丙域，骰G1与，的距离为dn,則当n≥o时dn≥d>0,而d是某-常数，故依 Cauchy強定理得知： .aw-tnew1=是J2a)i2s ￥一0 南 ≤ajnO-a0a+a.92-al1a, 8一ol 喷 此处之n≥，而m,p則为任何正整数，而为G的任一定点，故{：一0≥4，当：∈T 或入.时.同时根据定理所給的条件得知，对于固定的n及En,必存在某一正整数N,当 国 m≥N时，有： N /(o)-fm+n()≤2ML+a 2rd,2d 而則为'之长度，在上式中取m=N,則得： 配 1w(l≤1(1+2Mt+,p=1,2,…. 2πa 而|fx(g)川在G,上显然有界，故知{()在G1上一致有界，而在D内为广义一致有界， 从此得知(f(x)为D丙的正族. 我們现在只需要証明{什(：)在D内每一点上为收歙即可，因为再极据正族理输中 的維他利定理則可得到本定理的証明. 現在我們用反証法，設(f()》在D内井不在每一点上收歛，而合即为其中的一 点，則我們可从(f()》中选出二子函数列：(f(x)》及(f:(:),而使它俩在某一包合 典 而垒属于D的内域之阴区域上分别地一致收歙于f()及f,).而()卡f(), 且不失証明的真实性，我們可分≤k(原=1,2，··).井行 食 F()兰fn(知)-fk(x), 則(F,(:)}在D内广义一致收敛于全純函数f(:)一(：户枚我們只需证明{P(=)》 ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.net邹新堤 关于解析函数的 一个唯一性定理及其应用 : 忽 { , 。 . , 1 ( · ) 一 , 2 ( · ) } { J · ! . 一 。 , 只j 必致 f l ( 二 ) 三 f Z ( 二 ) 于 刀 内 . 沁 . 在 这一节 里 , 赴我佣抬 出定理 亚 的一个有趣的 应用 . 郎有 : 定理 m : 毅 区域 D , r , ’r , ’r 及 仁 , } 告 同于定理 户 , 而 {九(习 } 为 在 D 内的全钝 ’ 函数列 , 且每一 人(的 在 ’r 速疲井 为一致有界 . 郎 : }f 。 ( : ) l《 c , 当 扮〔 r ` 时 ( n = i , 2 , … ) , 若存在某一正数序列 {气 } 一 0 , 当 , , 、 + O 时 。 且对于任一固定的 气 及 从 , 必有` 正 整 黛N 存 在 , 当 二 , 移 ) N 时 , 有 「 { , * ,, 。 ( · , : ` · ( · , , , ` · ,` 一 lnJ 必致 {人 (的 } 在刀 内广义一致收敛 . 征 : 首先能我俩征 明 在定理 中的 条件下 , {凡(的 } 在 D 内广义一致有界 . 事实 . 卜 毅 乙, 是属 于 D 内的 任一 已定的 阴 区域 . 由于 {久 n } 、 ’r , 故必存在某一正整数 , 。 , 当 。 ) 。 。 时 , 云; 全属 于由 久 。 及 ’r 的一部分曲修所粗成的一个荫草可求长阴 曲找 几 所范围 的 内域 , 殷 云: 与 几 的距离 为 心 , lRJ 当 万) , 。 时 d 。 》 d > o , 而 己 是某一常数 , . 故依 c ~ 物 孩 定理得知 : ,` , ( “ , 一 ` 。 一 (一 , , 一 }鑫{ : : 丛丝址卫些业 Z J 。 } 《 君 一 宫 O , 1 「 }f , ( 。 ) 一 了. + , ( : ) ! . _ , _ : 二 I f , 心 之 一— ! 。 — 1 任石 } - . 一 l 2 北 J r’ } 君 一 勒 } 2 尤 之 , 。 土岭注分旦 ’ ` 二 ” , 此处之 , ) 晰 , 而 , , p 则为任何正整数 , 而 。 。 为 云; 的任一定点 , 故 } : 一 司 》 d , 当 。 〔 厂 或 几 。 时 . 同时根据 定理所始的条件得知 , 对于固定的 。 及 。, , 必存在某一正整数 N , 当 。 > N 时 , 有 : }f ,。 ( 二 。 ) 一 f 。 + , ( 。 0 ) ! 《 Z M I , 2 冗j + 一玉 一 2 忙 d 而 ’l 则为 ’r 之长度 , 在 上式 中取 , 二 !f N + , ( : 。 ) ! 《 }f N ( 。 。 ) ! N , lAJ 得 : Z M I ` + 6 , 2汀念 ( 户 = i , 2 , … ) . 而 }加(的 } 在 云: 上显然有界 , 故知 {九(幻 } 在 云; _上一致有界 , 而在 D 内为广 义一致有界 , 从 此得知 { f 。 ( 君 ) ) 为 刀 内的正族 一 我俩现在只 需要 征明 {` ( : )} 在 D 内每一点上为 收歇勘可 , 因 为再根据 正族理萧 中 的推他利定理则 可得到本定 理的征明 . 现在我俩用反赶法 , 殷 {介(幻 } 在 D 内并不在 每一点上收戴 , 而令 宫。 郎为其中 的一 点 , lAJ 我啊可从 f{ 式 “ )} 中选 出二 子函 数列 : {九, ( ” ) } 及 {f 叹( “ ) } , 而使它俩在 某一 包合 甸 而全属于 D 的 内域之 阴区域 万上分别地 一致收 徽于 fl (的 及 f,( : ) . 而 介( 。 。 ) 举 九( : 。 ) , , 且不失 征明 的 真实 性 , 我俩可令 , 、 成 城(左= 1 , 2 3一 ) . 并个 F · , ( “ ) = f · 、 ( “ ) 一 f ·又( “ ) , R[J {气( “ )} 在 刀 内广 义一 致收 徽于全种 函数 fl( “ ) 一 拭 “ 户 故我俩只需靓明 {凡 、 ( “ )}