116 数 报 9播 我們現在要証明单位圓丙的全純函数： [p(w)]p'(w)在扇形△（△以0为頂点，井以上牛圓 周内的某一圓弧e0e0,及Oe,0e:所围成的内域) 丙为有界。 事实上，取(R)是某一单調上昇的正数序列并具 如下的性质：i:R,→1，当n→+∞时，i:对每 R,以O为中心R,为牛径作牛圓C.而C.全在下牛平 面丙，且自C的某一点P起沿C,的二方向进行所得 与的第一交点分别为P,及2n,而P及2皆在下 牛圓内者則依Cauchy公式可得 Iwl=1 ·1f[p(w)]p'(o)l≤ ≤是，】+ +1 2πJ# w-wol +⊥lp(R,e0]p'(RcolR,d0 2元Jg Rne0一} R.=,g= (A) 此处是△内的任一固定点，而≤”.上式中合n→十，則右边第一项将趋向 于0，井注意p'(w)∈H1族，而利用黎斯定理(r1.2,§4.4.1)可知： =发e(R.ipRe1-e1p(eI101≤ [f[p(R,e0)]p'(Re0)1-lp'(e)fp(R,e)j10}+ +∫g【1p'(eo1(p(Re1l-Ip(eI1a0=o. 故从(A)可得： namlpnn<teeipc91a8+. (B) 2π6 此处的6是扇形△与下牛单位圓周的距离，而a是大于0.的某一常数，而因为[p()] 在[π，2π]上連徽，p'(w)∈H1族，故(B)右边是某一常数，故知[P(w)]p'(w)川在 △内有界。而父因为 imJlflp(o)]p'(w)1idm=0, 故根据定理I得知：[p(w)]p'(w)三0于|wl<1内.因此(=)三c于D内.定理 由是配毕。© 根据定理I,我們立刻得出如下解析函数的唯一性定理，即 定理Ⅱ：設区域D,T及T',T”,(}等皆同于定理I*,若()，(x)是D内的二 个解析函数，且在'（包括端点）皆为速續。且在{，)上，满足关系 ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net学 学 报 孟 , , 6 丫ù临趁社一抽| 一必 久, 寻 U了 I二 1 我仍现在要征明 单位 圆内的全钝函数 : f 【甲 ( 。 )] 甲 ’ ( , )在扇形 △ ( 。 以 。 为顶 点 , 并么 上半 圆 周 内的 某一圆弧 石众 ” : 及 瓦 `el , 瓦” : 所围成的 内域 ) 内为有界 . 事实上 , 取 {凡} 是某一单 稠上异的正数序列并具 如下的 性盾 : :i R , ` 1 , 当 , ` + 。 时 , 五: 对每一 R 。 以 。 为 中心 R 。 为半径作半圆 C 。 而 C , 全在下 半平 面 内 , 且 自 c 。 的某一点 P 起沿 c 。 的二方向进行所得 与 弋 的第一交点分别为 P 。 及 Q 。 , 而 尸二 及 Q , 告在下 半圆 内者 则俄 C au c 场 公式可得 : · !f [中( 。 。 ) ]甲 ` ( u, 。 ) ! ( , i C }f [甲 (讼 ) ]甲 ’ ( , ) 1 , J _ ~ ! 二 , 弓尧 — l , — {肠 子引 1 . + 了 2 尤 J 孟。 ! 留 一 川。 1 , g }r [中( 双 。 。 `e ) 1中 , ( 尺 。 。 ` , ) ! 及。 J e }天 , 。 ` e 一 构 l 此处 。 。 是 么 内的任一 固定点 , 而 氏 ( ’;0 . 尸。 一 。 “ 二 , 口 ` 一 。 ` , ; , ( 人 ) 上式中令 , 、 + o , 则右边第一项将趋 向 于 。 , 井注意 训 ( 。 ) ( H l 族 , 而利用黎斯定理1[] ( rIJ · 2 , 5 戒 4 . 1) 可知 : ” 呱 }{:{ : } ,。, ( ; 一 , , , , ( : 一 , , 一 “ 〔, (一 , ,甲 ’ ( · ` ” , , ` “ ,` ’ 、 、 {]l:) 〔 },〔, ( * , 一 )〕, : ; 一 )卜 , , , (一 , ,〔, ( 、 一 , , , , ` 小 + }{:{ 「} , , (一 ) : ( `,: , ( R一 , , , 一 ,,〔, (一 , , , , , ` ” 1一 故从 ( A ) 可 得 : }f [甲 ( t。 。 ) ]中 ’ ( 。 。 ) l( }f [甲 ( e ` e ) ]中 ` ( e` e ) } J S + 。 阮 ù广., 份 今 2 尤占 ( B ) 此处 的 占 是扇形△ 与下半单位 圆周的距离 , 而 a 是大于 0 . 的某一常数 , 而因 为 f[ 甲 ( 。 萝口 ) J 在 [ 二 , 2 二 ] 上速值 , 甲 ` ( 留 ) 〔 月; 族 , 故 ( B ) 右边是某一常数 , 故知 !f [甲 ( 。 ) ]中 ’ ( , ) } 在 △ 内有界 . 而又 因为 悠{ , ; “ 〔, ` 。 , , , ’ ( 。 , , , ` 。 , 一 ” · 故恨据定理 工得知 : f[ 中 ( ,t ) 〕训 (。 ) 三 。 于 }川 < 1 内 . 因此 f (的 三 。 于 D 内 . 定理 由 是舰毕 . 二 根据定理 护 , 我俩立刻得 出如下解析函数的唯一性定理 , 郎 定理 n : 毅 区域 D , r 及 ’r , ’r , {久启 等智 同于 定理 *I , 若 fl (幻 , :f( 的 是 D 内的二 个解析 函数 , 且 在 ’r (包 括端点 )省为速擅 . 且 在 {凡} 上 , 满足关系