2期 邹新堤：关于解析函数的一个唯一性定理及其应用 115 此处之「。为直钱O。,O:及曲餐λ，所合成的簡单明曲辍。从此容易看出： d IK1≤2+∫Kdc1,n≥No: 2πJw15-'o (A) 6π 的 此处的M是f()在OA及OB上的上界，而8是OC及OD上的二部分钱段：0<0≤ {=<1,:∈OD,OC与直辍OB及OA的距离。且容易看出当n≥N。时与任一入n的 距离大于某一固定的正数，故从（A)可得： 便 1l≤2+[l(l5l,n≥N.0 ·(B) 6π 2π6。J 在（®）中合n→+0，且根据定理的条件，(5)G1一0，当m一+∞时，故得 1K≤兴 W 而可为爾形OCD丙任何一点，只须|≥>0，而当x|≤r时()显然有界，因 此(：)在扇形OCD内为有界.故依法都氏定理(：)在圓弧CD上的角极值几乎处处存 在，設此部为扎)，分 w(0)=inE.{fre0l,e0∈CD而Rn→1当n→+o∞时. 0<R<1 而且容易看出： 风 lim w()=If(eio) 标++的 在圓弧CD上几乎处处成立，而 裤 i)ds0. 纳 同时依勒具格氏定理得知： (0)0=Ife)40=0. 触 故所以()在圓孤CD上几乎处处为零。故根据普理瓦洛夫唯一性定理得知f(:)三0 于<1丙，証毕. 現在我們将上道定理轉化到更一般的区域时的情形。 定理I:骰(=)是区域D内的至純函数，而D是某一可求长約当曲钱T所范围的 内域，殷T由曲段T及T”粗成，且及”皆以4，b为其二端点者.假如()在（包 括端点)上速辙，且有一簡单可求长曲餐序列()，入，除其二端点，皆落在'上外 华 企属于D丙.井設(}以曲餐”为极限，井致 N lim,f()l川d:l=0 者。則必致(=)三0于D丙. w 证：設”=p(w)是单位圓丙的单叶全純函数，p(心)保留地映射单位圆域于D 上，井致上半单位圓周映照于”者.則(，)的原象()将以上牛单位圓周为极限，且 mJtp(w]p'(w)dol=0. ?1994-2017 China Academic Jourrial Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net期 邹新堤 2 : 关于解析函数的一个唯一性定理及其应 用 f 此处 之 , 为 直技 。 蛛 , 0 荞 及 曲接 凡 所合成的筒 单 阴 曲接 . 从 此容易看 出: ! f ( : 。 ) }《 粤 + 李 (一l葬卑共} 己; ! , , ) N 。 ; o 汀 艺汀 夕孟, {夸 一 而 l ( A ) 此处 的 M 是 f (习 在 O A 及 O B _ E 的上 界 , 而 占是 o c 及 O D . 上的二部分援段 : o < 0r 《 ! : ! < 1 , 二涟而 , 而 与直拔 丽及 丽 的 距离 . ` 且容易看出当 , ) N 。 时 : 。 与任一 入 。 的 距离大于某一固定的 正数 占 。 , 故从 ( A ) 可得 : , , (。 , ,` 罢 + 赢 { , 。 ,` (` , , , “ ` ,二 ) N 。 · 。 ( B ) 在 ( “ , 补 移 一 + 二 ·且` 据定理的 条件 { , , . , (: ) ! ! d: `一 。 , 当 一 + 。 . “寸 , 故 得 &lf( ” ` 器 . 砂 丫、 、 而 介 可 为扇 形 o c D 内 任何一点 , 只 须 】孔 }) r0 > 0 , 而当 卜}成 0r 时 f ( 君 ) 显然有界3 因 沪 洲 洲 , 、 、 了~ 、 此 尹(习 在扇形 。 c D 内为有界 . 故恢祛都氏 定理 了(的 在圆弧 c D _ 五的角极值几乎处处 存 在 , 殷 此色n为 f ( 。 `口 ) , 合 尸 · ( o ) 一 。 <彩 、 : } f ( r “ , ) l一 `“ 〔 “ D 而 “ 一 ` 当 n 、 + co 时 · 而且 容易看出 : 少牛` ` 二 ( o ) = if ( e ` , ) l 在 圆弧 C D . .L 几乎处 处成立 , 而 ,; m (八 。 . ( 8 ) d s 成 11 : n , 。 }了( ” ) } }声“ 卜 0 · 同时依勒具格 氏 定理得知 : l i l n 湘 砷+ . 八 。 , ( 8 ) 澎8 = 品 If ( “ 口 ) } d o = 0 故 所以 袱 。 ’,e) 在 圆弧 c D 上儿乎处 处为 零 . 故根据普理互 洛失唯一性定理得知 了(习 三 。 于 }川 < 1 内 , 征毕 二 ` 交 现在我佣将上述定理褥化到更一般的 区域 时的情形 . 定理 犷 : 没 f ( 二 ) 是区 域 D 内的全钝函数 , 而刀 是某一可求 长豹当 曲壮 厂所范 围的 内域 , 殷 r 由 曲彼 尸 及 ’r 粗成 , 且 ’r 及 ’r 音么 a , b 为其二端点者 . 假如 f ( 。 ) 在 ’r (包 括端 点 ) 一卜速擅 , 且有一筒 单可求扮曲修序列 {久 , } , 凡 除其二端点 蛛 , 式 省落在 ’r 上外 全属于 D 内 . 并殷 {陈} 以 曲袋 ’r , 为极限 , 并致 恶{ , . }, ( · , , , d · , 一 。 者 。 lAJ 必 致 厂(幻 三 。 于 D 内 . 征 : 投 二 二 甲 ( , ) 是单位 圆 内的单 叶全钝函数 , 劝( , ) 保留 地 映射单 位 间域于 D 上 , · 并致上半单位图周映 照于 ’r , 者 . 则 {丸} 的 原象 {从 } 将以上半 单位 囿 周为 极 限 , 且 ” 呱 I , : ,`〔, ( 。 力, ’ ( 。 , ,“ 。 , 一 。 ·