银川能源学院《高签数学》教案 第一童函数、极限与连然 设函数x)的定义域D关于原点对称（即若x∈D,则-x∈D).如果对于任一 xED,有 A-x)=f(x). 则称x)为偶函数， 如果对于任一x∈D,有 -x)=-x), 则称x)为奇函数 偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称 奇偶函数举例： =x2,=cosx都是偶函数.=x3,=sinx都是奇函数，=sinx+cosx是非奇非 偶函数 (4)函数的周期性 设函数x)的定义域为D.如果存在一个正数1，使得对于任一xD有 (x±)∈D,且 x+)=x) 则称x)为周期函数，1称为x)的周期 周期函数的图形特点：在函数的定义域内，每个长度为1的区间上，函数 的图形有相同的形状 四、反函数与复合函数 1、反函数： 设函数∫：D-→D)是单射，则它存在逆映射f:D)→D,称此映射厂1为函 数f的反函数 按此定义，对每个yED),有唯一的x∈D,使得x)=y,于是有 (y)=x. 这就是说，反函数广1的对应法则是完全由函数∫的对应法则所确定的. 一般地，=x,xeD的反函数记成=f'(x),x∈D) 若∫是定义在D上的单调函数，则f:DD)是单射，于是f的反函数广 必定存在，而且容易证明厂1也是D)上的单调函数 相对于反函数=∫-(x)来说，原来的函数yx)称为直接函数.把函数 =x)和它的反函数 ∫(x)的图形画在同一坐标平面上，这两个图形关于直线=x是对称的.这是 因为如果P(a,b)是=fx)图形上的点，则有b=a).按反函数的定义，有a= (b),故Qb,a)是='(x)图形上的点；反之，若Qb,a)是=∫x)图形上的点 则P(a,b)是=x)图形上的点.而P(a,b)与Qb,a)是关于直线=x对称的 2、复合函数： 复合函数是复合映射的一种特例，按照通常函数的记号，复合函数的概念 可如下表述 设函数y=W的定义域为D1,函数=gx)在D上有定义且g(D)cD1,则 由下式确定的函数 =f几gx],x∈D 称为由函数=gx)和函数=八w)构成的复合函数，它的定义域为D,变量u称为 中间变量， 函数g与函数f构成的复合函数通常记为f·g,即 第5页银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 5 页 设函数 f(x)的定义域 D 关于原点对称(即若 xD, 则xD). 如果对于任一 xD, 有 f(x)  f(x), 则称 f(x)为偶函数. 如果对于任一 xD, 有 f(x)  f(x), 则称 f(x)为奇函数. 偶函数的图形关于 y 轴对称, 奇函数的图形关于原点对称, 奇偶函数举例: yx 2 , ycos x 都是偶函数. yx 3 , ysin x都是奇函数, ysin xcos x是非奇非 偶函数. (4)函数的周期性 设函数 f(x)的定义域为 D. 如果存在一个正数 l , 使得对于任一 xD 有 (xl)D, 且 f(xl)  f(x) 则称 f(x)为周期函数, l 称为 f(x)的周期. 周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为 l 的区间上, 函数 的图形有相同的形状. 四、反函数与复合函数 1、反函数: 设函数f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射f 1 : f(D)D, 称此映射f 1为函 数 f 的反函数. 按此定义, 对每个 yf(D), 有唯一的 xD, 使得 f(x)y, 于是有 f 1 (y)x. 这就是说, 反函数 f 1的对应法则是完全由函数 f 的对应法则所确定的. 一般地, yf(x), xD 的反函数记成 yf 1 (x), xf(D). 若 f 是定义在 D 上的单调函数, 则 f : Df(D)是单射, 于是 f 的反函数 f 1 必定存在, 而且容易证明 f 1 也是 f(D)上的单调函数. 相对于反函数 yf 1 (x)来说, 原来的函数 yf(x)称为直接函数. 把函数 yf(x)和它的反函数 yf 1 (x)的图形画在同一坐标平面上, 这两个图形关于直线 yx 是对称的. 这是 因为如果 P(a, b)是 yf(x)图形上的点, 则有 bf(a). 按反函数的定义, 有 af 1 (b), 故 Q(b, a)是 yf 1 (x)图形上的点; 反之, 若 Q(b, a)是 yf 1 (x)图形上的点, 则 P(a, b)是 yf(x)图形上的点. 而 P(a, b)与 Q(b, a)是关于直线 yx 对称的. 2、复合函数: 复合函数是复合映射的一种特例, 按照通常函数的记号, 复合函数的概念 可如下表述. 设函数 yf(u)的定义域为 D 1, 函数 ug(x)在 D 上有定义且 g(D) D 1, 则 由下式确定的函数 yf[g(x)], xD 称为由函数ug(x)和函数yf(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为 中间变量. 函数 g 与函数 f 构成的复合函数通常记为 f  g , 即