7.设(x,y)在单连通区域D上有二阶连续偏导数,证明v(x,y)在D内有 0的充要条件是对D内任一简单光滑闭曲线L,都有 其中一为L沿外法线的方向导数 8.计算积分 (x+y)dx+(x-y)dy 其中L是从点A(-10)到B(10)的一条不通过原点的光滑曲线,它的方程是 (x)(-1≤x≤1 9.计算积分 I=l xIn(x2+ dx+yIn(x+y--1dy 其中L是被积函数的定义域内从点(20)至(O2)的逐段光滑曲线 §3.场论初步 1.求l=x2+2y2+3z2+2xy-4x+2y-4在点O(0,0,0,A(1,1,B(-1-1-1)的梯度,并求梯度为零 的点 2.计算下列向量场F的散度和旋度 (1)F=(y z2+x2 ,x +y (2)F=(xy,xy2二,x22); x J v2 2x x1 3.证明F=(y(2x+y+z)x(x+2y+z)x(x+y+2=)是有势场并求势函数 4.设P=x2+5y+3y=,Q=5x+31x-2,R=(+2)x-4 ()计算Pa+Q+Rh,其中L是螺旋线x= acost,y=asin,=c(O≤1≤2) 第7页共8页第 7 页 共 8 页 7． 设 u x y ( , ) 在单连通区域 D 上有二阶连续偏导数，证明 u x y ( , ) 在 D 内有 2 2 2 2 0 u u x y   + =   的充要条件是对 D 内任一简单光滑闭曲线 L ，都有 0 L u ds n  =   ， 其中 u n   为 L 沿外法线的方向导数． 8． 计算积分 ( ) ( ) 2 2 L x y dx x y dy I x y + + − = +  ， 其中 L 是从点 A(−1,0) 到 B(1,0) 的一条不通过原点的光滑曲线，它的方程是 y f x x = −   ( ) 1 1 ( ) ． 9． 计算积分 ( ) ( ) 2 2 2 2 ln 1 ln 1 L I x x y dx y x y dy = + − + + −  ， 其中 L 是被积函数的定义域内从点 (2,0) 至 (0,2) 的逐段光滑曲线． §3. 场论初步 1. 求 2 2 2 u x y z xy x y z = + + + − + − 2 3 2 4 2 4 在点 O (0,0,0), A (1,1,1), B (-1,-1,-1)的梯度，并求梯度为零 的点． 2. 计算下列向量场 F 的散度和旋度： (1) 2 2 2 2 2 2 F y z z x x y = + + + ( , , ) ； (2) 2 2 2 F x yz xy z xyz = ( , , ) ； (3) ( , , ) x y z F yz zx xy = ． 3. 证明 F yz x y z xz x y z xy x y z = + + + + + + ( (2 ), ( 2 ), ( 2 )) 是有势场并求势函数． 4. 设 2 P x y yz Q x xz R xy z = + + = + − = + − 5 3 , 5 3 2, ( 2) 4    ． (1) 计算 L Pdx Qdy Rdz + +  ，其中 L 是螺旋线 x a t y a t z ct = = = cos , sin , (0 2 )  t  ；