(2)设F=(PQ,R),求roF (3)在什么条件下F为有势场,并求势函数 5.设g为可微函数,r=(x,y,),r=川,求 grad(n),dv((r)r),rot(q(r)r) 6.求向量场F=(-y,x,z)沿曲线L的环流量 (1)L为Ox平面上的圆周x2+y2=1,z=0,逆时针方向 (2)L为Oxy平面上的圆周(x-2)2+y2=R2,z=0,逆时针方向 (3)L为Oxy平面上任一逐段光滑简单闭曲线,它围成的平面区域D的面积为S.证 明F沿L的环流量为2S (4)设有一平面x:ax+by+c=d(c≠0),取丌为上侧,丌上有一逐段光滑简单闭曲 线L,其方向关于丌为正向.L围成的平面区域的面积为S,问F沿L的环流量是什 么? 7.求向量场F=grad( (arctan2)沿曲线L的环流量: (1)L不环绕〓轴 (2)L环绕z轴一圈 (3)L环绕z轴n圈 8.设向量场F={PQ,R在除原点(000外有连续的偏导数,在球面 x2+y2+z2=t2上F的长度保持一固定值,F的方向与矢径r=(x,y,z)相同, 而且F的散度恒为零,证明此向量场为F_kr(k是常数) 9.设有一数量场u=(x,y,),除(0,00)点外有连续偏导数,其等值面是以原点为中心 的球面.又数量场的梯度场的散度为零,证明此数量场与(r=√x2+y2+=2) 仅差一个常数,其中c1为某固定常数 10.设G是空间开区域,u=(x,y,)在G上有二阶连续偏导数证明l=(x,y,z)在G 内调和的充要条件是对G内任意简单分片光滑曲面S,都有 第8页共8页第 8 页 共 8 页 (2) 设 F P Q R = ( , , ) ，求 rotF ； (3) 在什么条件下 F 为有势场，并求势函数． 5. 设  为可微函数， r x y z r r = = ( , , ), ，求 grad r ( )  ，div ( ( ) )  r r ，rot ( ( ) )  r r ． 6. 求向量场 F y x z = −( , , ) 沿曲线 L 的环流量： (1) L 为 Oxy 平面上的圆周 2 2 x y + =1， z = 0 ，逆时针方向； (2) L 为 Oxy 平面上的圆周 2 2 2 ( 2) x y R − + = ， z = 0 ，逆时针方向； (3) L 为 Oxy 平面上任一逐段光滑简单闭曲线，它围成的平面区域 D 的面积为 S ．证 明 F 沿 L 的环流量为 2 S ． (4) 设有一平面  : ax by cz d + + = ( 0) c  ，取  为上侧，  上有一逐段光滑简单闭曲 线 L ，其方向关于  为正向． L 围成的平面区域的面积为 S ，问 F 沿 L 的环流量是什 么？ 7. 求向量场 (arctan ) y F grad x = 沿曲线 L 的环流量： (1) L 不环绕 z 轴； (2) L 环绕 z 轴一圈； (3) L 环绕 z 轴 n 圈． 8. 设 向 量 场 F P Q R = , ,  在 除 原 点 (0,0,0) 外 有 连 续 的 偏 导 数 ， 在 球 面 2 2 2 2 x y z t + + = 上 F 的长度保持一固定值， F 的方向与矢径 r x y z = ( , , ) 相同， 而且 F 的散度恒为零，证明此向量场为 3 k F r r = （ k 是常数）． 9. 设有一数量场 u x y z = ( , , ) ，除(0,0,0)点外有连续偏导数，其等值面是以原点为中心 的球面．又数量场的梯度场的散度为零，证明此数量场与 1 c r ( 2 2 2 r x y z = + + ) 仅差一个常数，其中 1 c 为某固定常数． 10. 设 G 是空间开区域， u x y z = ( , , ) 在 G 上有二阶连续偏导数．证明 u x y z = ( , , ) 在 G 内调和的充要条件是对 G 内任意简单分片光滑曲面 S ，都有 0 s u dS n  =   ．